Скалярний добуток |
 |
Формула |
[1]  |
Позначення у формулі |
, , , і  |
Підтримується Вікіпроєктом |
Вікіпедія:Проєкт:Математика  |
Скалярний добуток у Вікісховищі  |
Скаля́рний добу́ток (англ. dot product, scalar product) — бінарна операція над векторами, результатом якої є скаляр.
Скалярний добуток геометричних векторів
та
обчислюється за формулою:

де
та
є довжинами векторів, а
дорівнює косинусу кута між цими векторами. Як і у випадку звичайного множення, знак множення можна не писати:
.
Два означення добутку векторів:
- Скалярним добутком двох векторів називають число, рівне добутку довжин цих векторів на косинус кута між ними.
- Скалярним добутком двох векторів називають число, рівне добутку довжини одного з цих векторів на проєкцію іншого вектора на вісь, обумовлену першим з вказаних векторів (добуток довжини
на довжину проєкції
на
).
В лінійній алгебрі поняття скалярного добутку узагальнено. Так, скалярним добутком називають функцію, що зіставляє парі елементів векторного простору елемент з поля, над яким побудований векторний простір. Скалярний добуток двох векторів
та
позначають як
. Можлива і скорочена форма запису:
. Також можливе позначення
, що підкреслює зв'язок з множенням матриць.
Взагалі кажучи, для векторного простору існують різні варіанти скалярного добутку. Простір із визначеним скалярним добутком позначають як передгільбертів простір.
В лінійній алгебрі скалярний добуток двох векторів
і 
в ортонормованому базисі
-вимірного евклідового простору дорівнює сумі добутків координат векторів:
.
- В загальному випадку:
, де
— елемент Матриці Грама
Наприклад, в тривимірному евклідовому просторі, скалярний добуток двох векторів обчислюється так:
,
тобто для того, щоб отримати значення скалярного добутку, матрицю-стовпчик, яка відповідає першому зі співмножників треба транспонувати й помножити на матрицю-стовпчик другого вектора за правилами множення матриць.
Завдяки скалярному добутку, можна так обчислити норму вектора:
.
Якщо простір евклідів, то:
.
В евклідовому просторі виконується така рівність:
.
На основі цього можна обчислити кут між векторами:
.
Визначення стандартного скалярного добутку в просторі комплексних векторів
[ред. | ред. код]
Для
векторного простору над полем комплексних чисел стандартний скалярний добуток векторів
визначається як відображення, що задовільняє наступним умовам:

де риска над комплексним числом позначає комплексно-спряжене число.
Інший варіант скалярного добутку можна визначити як
.
Таке визначення здебільшого використовується в фізиці.
Результати обох визначень є взаємно-спряженими комплексними числами. Для скалярного добутку вектора на самого себе, який визначає норму вектора, обидва визначення дають однаковий результат.
- Попри те, що у випадку дійсних чисел є симетричним, тобто
, у випадку комплексних чисел є ермітовим, тобто
.
- Скалярний добуток не асоціативний (і не може бути, оскільки результатом скалярного добутку є скаляр, а не вектор).
- Скалярний добуток дистрибутивний стосовно додавання та віднімання.
- В евклідовому просторі спряженим стосовно лінійного оператора
називається оператор
, для якого виконується рівність:
для довільних
,
.[2]
Якщо
— лінійний простір над полем
, а
— комплексно спряжений до
то білінійне відображення
, або, при
відображення
називається скалярним добутком.[3]
- Скалярний добуток в дійсному векторному просторі
, це симетричне додатньовизначене білінійне відображення
, тобто, для
та
виконуються такі умови:
- білінійність:



- симетричність:

- додатньовизначеність:
та
якщо 
- Скалярний добуток в комплексному векторному просторі
, це ермітове додатньовизначене півторалінійне відображення
, тобто, для
і
виконуються такі умови:
- півторалінійність:



- ермітовість:

- додатньовизначеність:
і
, якщо
. (те, що
дійсний, витікає з умови 2)
Дійсний або комплексний векторний простір, в якому визначено скалярний добуток, називається прегільбертовим.
Стандартний скалярний добуток можна представити як добуток матриць. Водночас вектор представляється у вигляді матриці-стовпчика.
У випадку дійсних чисел, скалярний добуток представляється як:
,
де знаком
позначається транспонування матриці.
У випадку комплексних чисел виконується:
,
де знаком
позначається ермітово-спряжена матриця.
Взагалі кажучи, у випадку дійсних чисел, кожна симетрична та додатноозначена матриця
визначає скалярний добуток:
;
аналогічно, у випадку комплексних чисел кожна ермітова додатноозначена матриця
визначає скалярний добуток:
.