Обернена функція

Обернена функція (обернене відображення) до даної функції f — в математиці така функція g, яка в композиції з f дає тотожне відображення.

Нехай f: X → Y та g: Y → X деякі функції (відображення).

Визначення

Функція $g:Y\to X$ називається оберненою до функції $f:X\to Y$ , якщо виконані наступні рівності:

$f(g(y))=y$ для всіх $y\in Y;$
$g(f(x))=x$ для всіх $x\in X.$

Існування

Щоб знайти обернену функцію, потрібно розв'язати рівняння $y=f(x)$ щодо $x$ . Якщо воно має більше ніж один корінь, то функції, оберненої до $f$ не існує. Таким чином, функція $f(x)$ обернена на проміжку $(a;b)$ тоді і тільки тоді, коли на цьому проміжку вона взаємно-однозначна.

Для неперервної функції $F(y)$ виразити $y$ із рівняння $x-F(y)=0$ можливо тільки в тому випадку, коли функція $F(y)$ строго монотонна (див. теорема про неявну функцію). Тим не менш, неперервну функцію завжди можна обернути на проміжках її строгої монотонності. Наприклад, ${\sqrt {x}}$ є оберненою функцією до $x^{2}$ на $[0,+\infty )$ , хоча на проміжку $(-\infty ,0]$ обернена функція інша: $-{\sqrt {x}}$ .

Якщо композиція функцій f o g = E_Y, де E: Y→Y — тотожне відображення, то f має назву лівого оберненого відображення (функції) до g, а g - правого оберненого відображення (функції) до f.

Якщо справедливо і f o g = E_Yі g o f = E_X, то g має назву оберненого відображення (оберненої функції) до f і позначається як f^-1. Тобто f^-1(f(x))=f(f^-1(x))=x.

Приклади

Якщо $F:\mathbb {R} \to \mathbb {R} _{+},\;F(x)=a^{x}$ , де $a>0,$ то $F^{-1}(x)=\log _{a}x.$
Якщо $F(x)=ax+b,\;x\in \mathbb {R}$ , де $a,b\in \mathbb {R}$ фіксовані постійні і $a\neq 0$ , то $F^{-1}(x)={\frac {x-b}{a}}.$
Якщо $F(x)=x^{n},x\geq 0,n\in \mathbb {Z}$ , то $F^{-1}(x)={\sqrt[{n}]{x}}.$

Не слід плутати позначку f^-1 з позначенням степеня.

Наприклад, для функції, визначеної як f(x) → 3x + 2, оберненою функцією буде x → (x - 2) / 3. Це часто записується як:

\ f\colon x\to 3x+2

\ f^{-1}\colon x\to (x-2)/3

Властивості

Областю визначення $F^{-1}$ є множина $Y$ , а областю значень множина $X$ .
При побудові маємо:

y=F(x)\Leftrightarrow x=F^{-1}(y)

або

F\left(F^{-1}(y)\right)=y,\;\forall y\in Y

,

F^{-1}(F(x))=x,\;\forall x\in X

,

або коротше

F\circ F^{-1}=\mathrm {id} _{Y}

,

F^{-1}\circ F=\mathrm {id} _{X}

,

де $\circ$ означає композицію функцій, а $\mathrm {id} _{X},\mathrm {id} _{Y}$ — Тотожні відображення на $X$ і $Y$ .

Функція $F$ є оберненою до $F^{-1}$ :

\left(F^{-1}\right)^{-1}=F

.

Нехай $F:X\subset \mathbb {R} \to Y\subset \mathbb {R}$ — бієкція. Нехай $F^{-1}:Y\to X$ її обернена функція. Тоді графіки функцій $y=F(x)$ і $y=F^{-1}(x)$ симетричні відносно прямої $y=x$ .

Розкладання в степеневий ряд

Обернена функція аналітичної функції може бути представлена у вигляді степеневого ряду:

F^{-1}(y)=\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}(x_{0}){\frac {(y-f(x_{0}))^{k}}{k!}},

де коефіцієнти $A_{k}$ задаються рекурсивною формулою:

A_{k}(x)={\begin{cases}A_{0}(x)=x\\A_{n+1}(x)={\frac {A_{n}'(x)}{F'(x)}}\end{cases}}

Див. також

Джерела

Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — 4-е изд. — Москва : Наука, 1976. — 544 с. — ISBN 5-9221-0266-4.(рос.)
Завало С. Т. (1972). Елементи аналізу. Алгебра многочленів. Київ: Радянська школа. с. 462. (укр.)
Функція, обернена до даної // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 176. — 594 с.