Вільна алгебра Лі

У математичній теорії алгебр Лі вільна алгебра Лі є вільним об'єктом у категорії алгебр Лі із гомоморфізмами Лі. Виходячи з вільної алгебри, можна побудувати алгебри Лі з заданими генераторами і співвідношеннями подібно до задання групи.

Означення

Універсальна властивість

Вільною алгеброю Лі $FL(X)$ породженою множиною $X$ називається алгебра Лі, що задовольняє універсальну властивість:

Існує вкладення $X\rightarrow FL(X)$ і якщо $\theta :X\rightarrow L$ є вкладенням множини $X$ у довільну алгебру Лі $L,$ то існує єдиний гомоморфізм алгебр Лі $\varphi :FL(X)\rightarrow L$, для якого $\varphi \circ i=\theta$.

Із універсальної властивості випливає ізоморфізм усіх вільних алгебр Лі породжених множиною $X.$ Прямі побудови подані нижче показують існування вільних алгебр Лі.

Пряма побудова

Нехай $K$ позначає довільне поле. Для множини $X\not =\emptyset$ позначимо $A(X)$ вільну асоціативну K-алгебру породжену множиною $X$ і $i:X\rightarrow A(X)$ — відображення вкладення. На цій алгебрі можна ввести комутатор

$[a,b]:=a\cdot b-b\cdot a,\quad a,b\in A(X)$

і з цією операцією $A(X)$ є алгеброю Лі. Визначимо

$FL(X):=\bigcap \{L|L\subset A(X),\;i(X)\subset L\}$

де перетин береться по всіх підалгебрах Лі у $A(X),$ що містять $i(X).$.

$FL(X)$ є вільною алгеброю Лі породженою множиною $X$.

Згідно з побудовою $i(X)\subset FL(X)$ і $i$ можна розглядати як вкладення $X\rightarrow FL(X).$

Альтернативна побудова Бурбакі

Бурбакі подав альтернативну конструкцію вільної алгебри Лі. Для непорожньої множини $X$ і $M(X)$— то вільна магма на $X$ і $\mathrm {Lib} (X)$— асоціативна алгебра із базисом $M(X)$ із продовженням множення по лінійності. В ньому розглядається ідеал $I\subset \mathrm {Lib} (X)$, породжений усіма елементами виду

$a\cdot a,\quad a\in \mathrm {Lib} (X)$

$a\cdot (b\cdot c)+b\cdot (c\cdot a)+c\cdot (a\cdot b),\quad a,b,c\in \mathrm {Lib} (X).$

Тоді $\mathrm {Lib} (X)/I$ є вільною алгеброю породженою множиною $X$.

Приклади і властивості

• Якщо $X=\{x\}$ є одноелементною множиною, то $A(\{x\})$ є алгебрі многочленів від однієї змінної $x$. З введеним вище комутатором $A(\{x\})$ є комутативною алгеброю Лі. За означенням $FL(\{x\})$ є найменшою підалгеброю Лі, що містить $i(x)$ і такою очевидно є $K\cdot i(x)$. Тому $FL(\{x\})\cong K$ тривіальній одновимірній алгебрі Лі.

• Універсальна обгортуюча алгебра алгебри $FL(X)$ є рівною ${\mathcal {U}}(FL(X))\cong A(X)$.

Породжуючі елементи і співвідношення

Нехай $X$ непорожня множина. Мономом Лі називається скінченна послідовність дужок Лі з елементів $X$. Прикладом моному Лі може бути

$[[[x_{1},x_{2}],x_{1}],[x_{1},x_{3}]],\quad x_{1},x_{2},x_{3}\in X$,

Словом Лі називається скінченна лінійна комбінація мономів Лі. Наприклад

$7\cdot [[[x_{1},x_{2}],x_{1}],[x_{1},x_{3}]]-[[[[x_{1},x_{1}],x_{1}],x_{1}],x_{2}],\quad x_{1},x_{2},x_{3}\in X$.

Для множини $R$ слів Лі у множині $X$ позначимо $\langle R\rangle \subset FL(X)$ найменший ідеал, що містить множину $R\subset FL(X)$. Тоді факторалгебра Лі

$L(X;R):=FL(X)/\langle R\rangle$

є заданою породжуючою множиною $X$ і співвідношеннями $R$.

Приклади

• $L(X;\emptyset )=FL(X)$, оскільки ідеалом у цьому випадку є $\{0\}$.

• Нехай елементами $R$ є всі вирази виду $[x_{1},x_{2}],\,x_{1},x_{2}\in X$. Тоді $L(X;R)$ є комутативною алгеброю для якої елементи $X$ утворюють базис векторного простору.

• Нехай маємо множину $X=\{e_{1},\ldots ,e_{n},h_{1},\ldots ,h_{n},f_{1},\ldots ,f_{n}\}$ і $A_{i,j}$ деякі цілі константи, менші або рівні 0 для різних індексів.

Нехай $R$ породжена елементами

$[h_{i},h_{j}]$

$[h_{i},e_{j}]-A_{i,j}e_{j}$

$[h_{i},f_{j}]+A_{i,j}f_{j}$

$[e_{i},f_{i}]-h_{i}$

$[e_{i},f_{j}]$   для   $i\not =j$

$[e_{i},[e_{i}[\ldots [e_{i},e_{j}]]]$   для $i\not =j$ і $1-A_{i,j}$ входжень елементів $e_{i}$

$[f_{i},[f_{i}[\ldots [f_{i},f_{j}]]]$   для $i\not =j$ і $1-A_{i,j}$ входжень елементів $f_{i}$

Дані співвідношення називаються співвідношеннями Серра. Якщо $A_{i,j}$ є коефіцієнтами матриці Картана то $L(X;R)$ є скінченновимірною напівпростою алгеброю Лі з даною матрицею Картана. Ці співвідношення таким чином використовуються для доведення існування напівпростих алгебр Лі для будь-якої системи коренів.. Для більш загального типу матриць ці ж співвідношення використовуються для означення алгебр Каца — Муді.

Див. також

• Задання групи
• Універсальна обгортуюча алгебра

Література

• Бурбаки Н., Группы и алгебры Ли. Алгебры Ли, свободные алгебры Ли и группы Ли, пер. с франц., М., 1976.
• Carter, R. (2005), Lie Algebras of Finite and Affine Type, Cambridge University Press, ISBN 0-521-85138-6
• Lothaire, M. (1997), Combinatorics on words, Encyclopedia of Mathematics and Its Applications, т. 17 (вид. 2nd), Cambridge University Press, с. 76—91, 98, ISBN 0-521-59924-5, Zbl 0874.20040
• Reutenauer, Christophe (1993), Free Lie algebras, London Mathematical Society Monographs. New Series, т. 7, The Clarendon Press Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853679-6, MR 1231799