Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Гармонічне число
H
n
,
1
{\displaystyle H_{n,1}}
n
=
⌊
x
⌋
{\displaystyle n=\lfloor {x}\rfloor }
γ
+
ln
(
x
)
{\displaystyle \gamma +\ln(x)}
У математиці n -м гармонічним числом називається сума обернених величин перших n послідовних чисел натурального ряду:
H
n
=
∑
k
=
1
n
1
k
=
1
+
1
2
+
1
3
+
⋯
+
1
n
.
{\displaystyle H_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots +{\frac {1}{n}}.}
Гармонічні числа є частковими сумами гармонічного ряду .
Вивчення гармонічних чисел почалося в античності. Вони мають важливе значення в різних галузях теорії чисел і теорії алгоритмів і, зокрема, тісно пов'язані з дзета-функцією Рімана .
Гармонічні числа можна визначити рекурентно :
{
H
n
=
H
n
−
1
+
1
n
H
1
=
1
{\displaystyle {\begin{cases}H_{n}=H_{n-1}+{\frac {1}{n}}\\H_{1}=1\end{cases}}}
Також правильне співвідношення:
H
n
=
γ
+
ψ
(
n
+
1
)
=
Γ
′
(
n
)
Γ
(
n
)
+
1
n
+
γ
{\displaystyle H_{n}=\gamma +\psi (n+1)={\frac {\Gamma '(n)}{\Gamma (n)}}+{\frac {1}{n}}+\gamma }
де
ψ
(
n
)
{\displaystyle \psi (n)}
дигамма-функція ,
γ
=
−
ψ
(
1
)
{\displaystyle \gamma =-\psi (1)}
стала Ейлера — Маськероні .
Ще одне співвідношення:
H
n
=
∑
k
=
1
n
(
n
k
)
(
−
1
)
k
+
1
k
{\displaystyle H_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {(-1)^{k+1}}{k}}}
Перелічені нижче формули можна використати для обчислення гармонічних чисел (зокрема й у точках, відмінних від точок натурального ряду):
інтегральні подання:
H
x
=
∫
0
1
1
−
t
x
1
−
t
d
t
,
R
e
(
x
)
>
−
1
{\displaystyle H_{x}=\int _{0}^{1}{\frac {1-t^{x}}{1-t}}dt,\quad Re(x)>-1}
граничні подання:
H
x
=
lim
n
→
∞
(
ln
(
n
)
−
∑
k
=
0
n
1
x
+
k
+
1
)
+
γ
{\displaystyle H_{x}=\lim _{n\to \infty }\left(\ln(n)-\sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{x+k+1}}\right)+\gamma }
H
x
=
x
∑
k
=
0
∞
1
(
k
+
1
)
(
x
+
k
+
1
)
{\displaystyle H_{x}=x\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(k+1)(x+k+1)}}}
розкладання в ряд Тейлора в точці
x
=
0
{\displaystyle x=0}
H
x
=
∑
k
=
1
∞
(
−
1
)
k
+
1
ζ
(
k
+
1
)
x
k
=
ζ
(
2
)
x
−
ζ
(
3
)
x
2
+
ζ
(
4
)
x
3
−
ζ
(
5
)
x
4
+
⋯
,
{\displaystyle H_{x}=\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k+1}\zeta (k+1)x^{k}=\zeta (2)x-\zeta (3)x^{2}+\zeta (4)x^{3}-\zeta (5)x^{4}+\cdots ,}
де
ζ
(
x
)
{\displaystyle \zeta (x)}
дзета-функція Рімана ; асимптотичний розклад :
H
x
=
γ
+
ln
(
x
)
+
1
2
x
−
1
12
x
2
+
1
120
x
4
−
1
252
x
6
+
1
240
x
8
−
1
132
x
10
+
⋯
{\displaystyle H_{x}=\gamma +\ln(x)+{\frac {1}{2x}}-{\frac {1}{12x^{2}}}+{\frac {1}{120x^{4}}}-{\frac {1}{252x^{6}}}+{\frac {1}{240x^{8}}}-{\frac {1}{132x^{10}}}+\cdots }
∑
k
=
1
∞
H
k
z
k
=
−
ln
(
1
−
z
)
1
−
z
{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }H_{k}z^{k}=-{\frac {\ln(1-z)}{1-z}}}
H
1
/
2
=
2
−
2
ln
2
{\displaystyle H_{1/2}=2-2\ln 2}
H
1
/
3
=
3
−
3
ln
3
2
−
π
2
3
{\displaystyle H_{1/3}=3-{\frac {3\ln 3}{2}}-{\frac {\pi }{2{\sqrt {3}}}}}
H
1
/
4
=
4
−
3
ln
2
−
π
2
{\displaystyle H_{1/4}=4-3\ln 2-{\frac {\pi }{2}}}
H
1
/
5
=
5
−
5
ln
5
4
−
1
2
1
+
2
5
π
−
5
2
ln
φ
,
{\displaystyle H_{1/5}=5-{\frac {5\ln 5}{4}}-{\frac {1}{2}}{\sqrt {1+{\frac {2}{\sqrt {5}}}}}\pi -{\frac {\sqrt {5}}{2}}\ln \varphi ,}
де
φ
{\displaystyle \varphi }
золотий перетин .
H
1
/
7
=
7
−
ln
14
−
π
2
c
t
g
π
7
−
2
cos
(
π
7
)
ln
(
cos
π
14
)
+
2
sin
(
3
π
14
)
ln
(
sin
π
7
)
−
2
sin
(
π
14
)
ln
(
cos
3
π
14
)
{\displaystyle H_{1/7}=7-\ln 14-{\frac {\pi }{2}}\mathrm {ctg} {\frac {\pi }{7}}-2\cos \left({\frac {\pi }{7}}\right)\ln \left(\cos {\frac {\pi }{14}}\right)+2\sin \left({\frac {3\pi }{14}}\right)\ln \left(\sin {\frac {\pi }{7}}\right)-2\sin \left({\frac {\pi }{14}}\right)\ln \left(\cos {\frac {3\pi }{14}}\right)}
∑
k
=
1
n
H
k
=
(
n
+
1
)
H
n
−
n
=
(
n
+
1
)
(
H
n
+
1
−
1
)
{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{H_{k}}=(n+1){H_{n}}-n=(n+1)({H_{n+1}}-1)}
∑
k
=
1
∞
H
k
k
=
∞
{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {H_{k}}{k}}=\infty }
∑
k
=
1
∞
H
k
k
2
=
2
ζ
(
3
)
{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {H_{k}}{k^{2}}}=2\zeta (3)}
∑
k
=
1
∞
H
k
k
3
=
1
2
ζ
(
2
)
2
=
5
4
ζ
(
4
)
=
π
4
72
{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {H_{k}}{k^{3}}}={\frac {1}{2}}\zeta (2)^{2}={\frac {5}{4}}\zeta (4)={\frac {\pi ^{4}}{72}}}
∑
k
=
1
∞
H
k
k
4
=
3
ζ
(
5
)
−
ζ
(
2
)
ζ
(
3
)
=
3
ζ
(
5
)
−
π
2
6
ζ
(
3
)
{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {H_{k}}{k^{4}}}=3\zeta (5)-\zeta (2)\zeta (3)=3\zeta (5)-{\frac {\pi ^{2}}{6}}\zeta (3)}
[ ред. | ред. код ]
(
H
n
)
3
=
∑
i
=
1
n
∑
j
=
1
n
∑
k
=
1
n
1
i
j
k
{\displaystyle (H_{n})^{3}=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{ijk}}}
∑
i
=
1
n
∑
j
=
1
n
−
1
∑
k
=
j
+
1
1
1
i
j
k
=
1
2
H
n
(
H
n
2
−
ζ
n
(
2
)
)
{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n-1}\sum _{k=j+1}^{1}{\frac {1}{ijk}}={\frac {1}{2}}H_{n}(H_{n}^{2}-\zeta _{n}(2))}
ζ
n
(
2
)
=
∑
k
=
1
n
1
k
2
{\displaystyle \zeta _{n}(2)=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{2}}}}
ζ
n
(
2
)
=
(
H
n
)
2
−
∑
k
=
1
n
−
1
2
H
k
k
+
1
−
1
{\displaystyle \zeta _{n}(2)=(H_{n})^{2}-\sum _{k=1}^{n-1}{\frac {2H_{k}}{k+1}}-1}
ζ
n
(
2
)
=
∑
k
=
1
n
1
k
2
{\displaystyle \zeta _{n}(2)=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{2}}}}
H
n
2
+
1
=
(
H
n
)
2
+
∑
k
=
1
n
−
1
(
H
(
k
+
1
)
2
−
1
−
2
H
k
k
+
1
−
H
k
2
)
{\displaystyle H_{n^{2}}+1=(H_{n})^{2}+\sum _{k=1}^{n-1}\left(H_{(k+1)^{2}-1}-{\frac {2H_{k}}{k+1}}-H_{k^{2}}\right)}
За допомогою формули підсумовування Ейлера — Маклорена отримуємо таку формулу:
H
n
=
ln
n
+
γ
+
1
2
n
+
∑
k
=
1
m
B
2
k
2
k
n
2
k
−
θ
m
,
n
B
2
m
+
2
(
2
m
+
2
)
n
2
m
+
2
,
{\displaystyle H_{n}=\ln n+\gamma +{\frac {1}{2n}}+\sum \limits _{k=1}^{m}{\frac {B_{2k}}{2kn^{2k}}}-\theta _{m,n}{\frac {B_{2m+2}}{(2m+2)n^{2m+2}}},}
де
0
<
θ
m
,
n
<
1
{\displaystyle 0<\theta _{m,n}<1}
γ
{\displaystyle \gamma }
стала Ейлера , яку можна обчислити швидше з інших міркувань[яких? , а
B
k
{\displaystyle B_{k}}
числа Бернуллі .
Теорема Волстенголма стверджує, що для будь-якого простого числа
p
>
3
{\displaystyle p>3}
H
p
−
1
≡
0
(
mod
p
2
)
.
{\displaystyle H_{p-1}\equiv 0{\pmod {p^{2}}}.}
H
1
=
1
H
2
=
3
2
=
1
,
5
H
3
=
11
6
≈
1,833
H
4
=
25
12
≈
2,083
H
5
=
137
60
≈
2,283
{\displaystyle {\begin{matrix}H_{1}&=&1\\\\H_{2}&=&{\frac {3}{2}}&=&1{,}5\\\\H_{3}&=&{\frac {11}{6}}&\approx &1{,}833\\\\H_{4}&=&{\frac {25}{12}}&\approx &2{,}083\\\\H_{5}&=&{\frac {137}{60}}&\approx &2{,}283\end{matrix}}}
H
6
=
49
20
=
2
,
45
H
7
=
363
140
≈
2,593
H
8
=
761
280
≈
2,718
H
10
3
≈
7,484
H
10
6
≈
14,393
{\displaystyle {\begin{matrix}H_{6}&=&{\frac {49}{20}}&=&2{,}45\\\\H_{7}&=&{\frac {363}{140}}&\approx &2{,}593\\\\H_{8}&=&{\frac {761}{280}}&\approx &2{,}718\\\\H_{10^{3}}&\approx &7{,}484\\\\H_{10^{6}}&\approx &14{,}393\end{matrix}}}
Чисельник і знаменник нескоротного дробу, що являє собою n n
2002 року Lagarias довів[ 1] гіпотеза Рімана про нулі дзета-функції Рімана еквівалентна твердженням, що нерівність
σ
(
n
)
≤
H
n
+
ln
(
H
n
)
e
H
n
{\displaystyle \sigma (n)\leq H_{n}+\ln(H_{n})e^{H_{n}}}
виконується за всіх цілих
n
≥
1
{\displaystyle n\geq 1}
n
>
1
{\displaystyle n>1}
σ
(
n
)
{\displaystyle \sigma (n)}
сума дільників числа
n
{\displaystyle n}
