Генератриса цілочисельної випадкової величини

Дискретну випадкову величину $\xi$ яка приймає значення з множини $Z^{+}=\{0,1,\ldots \}$ будемо називати цілочисельною, а її розподіл будемо визначати ймовірностями $p_{n}=P\{\xi =n\},\,n\in Z^{+}$ , де $\sum _{n=0}^{\infty }p_{n}=1$ .

Генератрисою цілочисельної випадкової величини будемо називати функцію

\Psi _{\xi }(s)=Ms^{\xi }\ (|s|\leq 1)

,

яка виражається через закон розподілу такою функцією:

\Psi _{\xi }(s)=\sum _{n=0}^{\infty }p_{n}s^{n}

,

яка очевидно збігається при $|s|\leq 1$ .

Застосування в теорії ймовірностей

Якщо $\xi$ — додатня цілочисленна випадкова величина, то її математичне сподівання може бути виражене через генератрису як значення першої похідної в одиниці: $M[X]=\Psi '(1)$ .

Дійсно,

\Psi '(s)=\sum _{n=1}^{\infty }np_{n}s^{n-1}

.

При підстановці $s=1$ отримаємо величину $\Psi '(1)=\sum _{n=1}^{\infty }{np_{n}}$ , яка за визначенням є математичним сподіванням дискретної випадкової величини.

Якщо цей ряд розбігається, то $\lim _{s\to 1}P'(s)=\infty$ -- а $X$ має нескінченне математичне сподівання, $P'(1)=M[X]=\infty$

Тепер візьмемо твірну функцію $Q(s)$ послідовності «хвостів» розподілу $\{q_{k}\}$

q_{k}=\mathbb {P} (X>j)=\sum _{j=k+1}^{\infty }{p_{j}};\quad Q(s)=\sum _{k=0}^{\infty }\;q_{k}s^{k}.

Ця твірна функція пов'язана з визначеною раніше функцією $P(s)$ властивістю: $Q(s)={\frac {1-P(s)}{1-s}}$ при $|s|<1$ . З цього з теореми про середнє випливає, що математичне очікування рівне просто значенню цієї функції в одиниці: