Головна функція стійкості

У математиці головна функція стійкості — це інструмент, який використовується для аналізу стійкості синхронізованого стану в динамічній системі, що складається з багатьох ідентичних систем, з’єднаних разом

Розглянемо систему с $N$ однакових осциляторів. Вважатимемо, що без зв’язку вони еволюціонують у відповідності до однакового диференціального рівняння ${\dot {x}}_{i}=f(x_{i})$ де $x_{i}$ позначає стан осцилятора $i$ . Синхронний стан системи осциляторів - це стан коли стани всіх осциляторів системи співпадають.

Введемо зчепленість осциляторів у вигляді силуи зчеплення $\sigma$, попарні зв'язки між осциляторами визначимо за допомогою матиці $A_{ij}$, функція $g$ визначає стан окремого осцилятора. Введення зв’язку призводить до наступного рівняння:

${\dot {x}}_{i}=f(x_{i})+\sigma \sum _{j=1}^{N}A_{ij}g(x_{j}).$

Основна функція стійкості тепер визначається як функція, яка відображає комплексне число $\gamma$ до найбільшого показника Ляпунова рівняння

${\dot {y}}=(Df+\gamma Dg)y.$

Синхронний стан системи зв'язаних осциляторів є стійким, якщо головна функція стійкості від'ємна при $\sigma \lambda _{k}$ де $\lambda _{k}$ коливається у власних значеннях матриці зв’язку $A$ .

Посилання

• Arenas, Alex; Díaz-Guilera, Albert; Kurths, Jurgen; Moreno, Yamir; Zhou, Changsong (2008), Synchronization in complex networks, Physics Reports, 469 (3): 93—153, arXiv:0805.2976, Bibcode:2008PhR...469...93A, doi:10.1016/j.physrep.2008.09.002.
• Pecora, Louis M.; Carroll, Thomas L. (1998), Master stability functions for synchronized coupled systems, Physical Review Letters, 80 (10): 2109—2112, Bibcode:1998PhRvL..80.2109P, doi:10.1103/PhysRevLett.80.2109.