Граничні умови Борна-Кармана

Граничні умови Борна-Кармана — періодичні граничні умови, які накладаються на хвильові функції в нескінченному середовищі з трансляційною симетрією з метою дискретизації неперервного спектру одноелектронних станів.

За теоремою Блоха, хвильові функції в середовищі з трансляційною симетрією, наприклад, в нескінченному кристалі, мають вигляд

$\psi (\mathbf {r} )=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }\phi (\mathbf {r} )$,

де $\phi (\mathbf {r} )$ — періодична функція.

При застосуванні граничних умов Борна-Кармана додатково вимагають періодичності хвильової функції з періодом $N\mathbf {a}$, де $\mathbf {a}$ — базовий вектор елементарної комірки кристала, а N — велике число. В такому випадку хвильовий вектор $\mathbf {k}$ може мати тільки дискретні значення (залежні від N):

$\mathbf {k} _{i}={\frac {i}{N}}\mathbf {b}$,

де $\mathbf {b}$ — вектор оберненої ґратки.

Дискретизація спектру проводиться для зручності роботи з хвильовими функціями і квантовими числами.

При виконанні підсумовувань по хвильових векторах зручно проводити обернений перехід до неперервного спектру за схемою

$\sum _{\mathbf {k} }\rightarrow {\frac {V}{(2\pi )^{3}}}\int d^{3}k$,

де V — об'єм кристала.

Див. також

• Квазічастинки