Група Коксетера

Група Коксетера — група, породжена відображеннями в гранях $n$-вимірного многогранника, в якого кожен двогранний кут становить цілу частину від $\pi$ (тобто дорівнює $\pi /k$ для деякого цілого $k$). Такі многогранники називаються многогранниками Коксетера. Групи Коксетера визначаються для багатогранників у евклідовому просторі, на сфері, а також у гіперболічному просторі.

Приклади

• Скінченним групам Коксетера ізоморфні, зокрема, групи Вейля простих алгебр Лі.
• Многогранники Коксетера в евклідовому просторі розмірності $n$:
  • $n$-вимірний куб довільної розмірності.
  • $n$-вимірний симплекс, утворений точками з координатами $(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})$ такими, що $0\leqslant x_{1}\leqslant x_{2}\leqslant \ldots \leqslant x_{n}\leqslant 1$.
• Многогранники Коксетера в одиничній сфері розмірності $n$:
  • правильний $n$-вимірний симплекс зі стороною $\pi /2$.
• Многогранники Коксетера у гіперболічних просторах:
  • Правильний $k$- многокутник із кутом $\pi /m$.
  • Правильний прямокутний додекаедр у розмірності $3$.
  • Правильний прямокутний стодвадцятикомірник у розмірності $4$.

Властивості

• Групи Коксетера описуються і класифікуються за допомогою діаграм Коксетера — Динкіна.
• Многогранник Коксетера є фундаментальною областю дії групи Коксетера.
  • Зокрема, многогранник Коксетера замощує простір.
  • Зокрема, будь-яка евклідова група Коксетера є прикладом точкової групи.
• Теорема Вінберга. У гіперболічних просторах всіх досить великих розмірностей обмежених многогранників Коксетера не існує.
• Сферичні многогранники Коксетера є симплексами.
• Многогранники Коксетера є простими.
• Позначимо через $\{r_{1},r_{2},\ldots ,r_{n}\}$ відображення в гранях многогранника, і нехай $\pi /m_{ij}$ є двогранний кут між гранями $i$ і $j$. Нехай $m_{ij}=\infty$, якщо грані не утворюють двогранного кута у многограннику, і $m_{ii}=1$. Тоді групу Коксетера можна задати так:

  $\left\langle r_{1},r_{2},\ldots ,r_{n}\mid (r_{i}r_{j})^{m_{ij}}=1\right\rangle$

Варіації та узагальнення

• Групами Коксетера також називають узагальнення класу груп, описаного вище, що визначається за допомогою задання:

  $\left\langle r_{1},r_{2},\ldots ,r_{n}\mid (r_{i}r_{j})^{m_{ij}}=1\right\rangle$,

де $m_{ii}=1$ і $m_{ij}\geqslant 2$ при $i\neq j$.

Див. також

• Група комплексних відображень
• Число Коксетера

Література

• H. S. M. Coxeter. Discrete groups generated by reflections // Annals of Mathematics. — 1934. — Vol. 35 (5 February). — P. 588—621. — DOI:10.2307/1968753. JSTOR 1968753