Групоїд (теорія категорій)

У Вікіпедії є статті про інші значення цього терміна: Групоїд.

У теорії категорій групо́їд — це категорія, у якій усі морфізми є ізоморфізмами.

Групоїди можна розглядати як узагальнення груп. А саме, категорія, відповідна групі $G$ , має рівно один об'єкт і по одній стрілці для кожного елементу $g$ з $G$ . Композиція стрілок задається як множення відповідних елементів у групі. Видно, що при цьому кожна стрілка є ізоморфізмом. Таким чином множину стрілок групоїда можна розглядати як деяку множину з частково визначеною бінарною операцією множення таку, що для кожного елементу існує лівий і правий зворотній, а також ліва і права одиниця за множенням.

Групоїди природно заміняють у теорії категорій групи симетрій і виникають при класифікації класів ізоморфних об'єктів.

Приклади

Будь-яка категорія, що є групою, є групоїдом.

Нехай $C$ — довільна категорія, а $D\hookrightarrow C$ — підкатегорія, об'єкти якої збігаються с об'єктами $C$ , а морфізмами є усі можливі ізоморфізми у $C$ . Тоді $D$ — групоїд.

Нехай $X$ — лінійно зв'язний топологічний простір. Тоді його фундаментальний Групоїд $\Pi _{1}(X)$ — це 2-категорія, об'єктами якої є усі точки з $X$ , а стрілки з $x\in X$ у $y\in X$ відповідають усім можливим (геометричним) шляхам з $x$ у $y$ :

f\colon [0;1]\to X,~f(0)=x,\;f(1)=y

Дві функції

f

та

g

задають один і той же шлях якщо існує

s:[0;1]\to [0;1]

так, що

f=g\circ s

або

g=f\circ s

. Композиція стрілок задається композицією шляхів:

fg(t)={\begin{cases}f(2t),\;0\leqslant t\leqslant 1/2\\g(2t-1),\;1/2\leqslant t\leqslant 1\end{cases}}

2-морфізм з

f

у

g

— це гомотопія з

f

у

g

. Фундаментальний групоїд є категоріфікацією фундаментальної групи. Його перевага у тому, що у просторі не потрібно обирати відмічену точку, так що не виникають проблеми з неканонічністю ізоморфізму фундаментальних груп у різних точках або з просторами, які мають декілька компонент зв'язності. Фундаментальна група петель з точки

x\in X

виникає як група 2-ізоморфних автоморфізмів об'єкта

x\in \Pi _{1}(X)

.

Категорія векторних розшарувань рангу $n$ над стягуваним простором з невиродженими відображеннями природно утворює групоїд. Це твердження лежить в основі введення поняття джерба^[en] (котрий є частковим випадком стека^[en]), що являє собою собою структуру на категорії пучків заданого типу. Джерби є геометричними об'єктами, що класифікуються групами когомологій $H^{2}(X,{\mathcal {G}})$ , де ${\mathcal {G}}$ — пучок Груп на $X$ . Поняття особливо важливе у випадку неабелевих груп ${\mathcal {G}}$ .