Гіперболічні функції

sh, ch та th

Гіперболі́чні фу́нкції — сімейство елементарних функцій, які виражаються через експоненту і тісно пов'язані з тригонометричними функціями.

Визначення

Визначення гіперболічних функцій через гіперболу

Гіперболічні функції задаються такими формулами:

• гіперболічний синус:

$\mathop {\mathrm {sh} } \,x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}$ (в іноземній літературі позначається $\sinh x$).

Існує сленгова назва: «шинус».

• гіперболічний косинус:

$\mathop {\mathrm {ch} } \,x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}$ (в іноземній літературі позначається $\cosh x$).

Існує сленгова назва: «чосинус», «кошинус».

Лінію гіперболічного косинуса називають ланцюговою, бо саме таку форму приймає ланцюг або мотузка, яку підвісили за обидва кінці в однорідному гравітаційному полі.

• гіперболічний тангенс:

$\mathop {\mathrm {th} } \,x={\frac {\mathop {\mathrm {sh} } \,x}{\mathop {\mathrm {ch} } \,x}}$ (в іноземній літературі позначається $\tanh x$).

Існують сленгові назви: «щангенс», «цангенс».

Іноді також визначається

• гіперболічний котангенс:

$\mathop {\mathrm {cth} } \,x={\frac {1}{\mathop {\mathrm {th} } \,x}}$,

• гіперболічні секанс і косеканс:

$\mathop {\mathrm {sech} } \,x={\frac {1}{\mathop {\mathrm {ch} } \,x}}$,

$\mathop {\mathrm {csch} } \,x={\frac {1}{\mathop {\mathrm {sh} } \,x}}$.

Властивості

Один зі способів визначення тригонометричних функцій через одиничне коло

Зв'язок з тригонометричними функціями

Гіперболічні функції виражаються через тригонометричні функції від уявного аргументу.

$\operatorname {sh} x=-i\sin(ix),\quad \operatorname {ch} x=\cos(ix),\quad \operatorname {th} x=-i\operatorname {tg} (ix)$.

$\operatorname {sh} (ix)=i\operatorname {sin} x,\quad \operatorname {ch} (ix)=\cos x,\quad \operatorname {th} (ix)=i\operatorname {tg} x$.

Функція Гудермана зв'язує тригонометричні функції та гіперболічні функції без залучення комплексних чисел.

Важливі тотожності

1. $\operatorname {ch} ^{2}x-\operatorname {sh} ^{2}x=1$.
2. Парність:
   1. $\operatorname {sh} (-x)=-\operatorname {sh} x$,
   2. $\operatorname {ch} (-x)=\operatorname {ch} x$,
   3. $\operatorname {th} (-x)=-\operatorname {th} x$.
3. Формули додавання:
   1. $\operatorname {sh} (x\pm y)=\operatorname {sh} x\,\operatorname {ch} y\pm \operatorname {sh} y\,\operatorname {ch} x$,
   2. $\operatorname {ch} (x\pm y)=\operatorname {ch} x\,\operatorname {ch} y\pm \operatorname {sh} y\,\operatorname {sh} x$,
   3. $\operatorname {th} (x\pm y)={\frac {\operatorname {th} x\pm \operatorname {th} y}{1\pm \operatorname {th} x\operatorname {th} y}}$.
4. Формули подвоєного кута:
   1. $\operatorname {sh} 2x=2\operatorname {ch} x\,\operatorname {sh} x={\frac {2\,\operatorname {th} x}{1-\operatorname {th} ^{2}x}}$,
   2. $\operatorname {ch} 2x=\operatorname {ch} ^{2}x+\operatorname {sh} ^{2}x=2\operatorname {ch} ^{2}x-1=1+2\operatorname {sh} ^{2}x={\frac {1+\operatorname {th} ^{2}x}{1-\operatorname {th} ^{2}x}}$,
   3. $\operatorname {th} 2x={\frac {2\operatorname {th} x}{1+\operatorname {th} ^{2}x}}$,
   4. $\operatorname {cth} 2x={\frac {1}{2}}(\operatorname {th} x+\operatorname {cth} x)$,
   5. $\operatorname {th} x={\frac {\operatorname {ch} 2x-1}{\operatorname {sh} 2x}}={\frac {\operatorname {sh} 2x}{1+\operatorname {ch} 2x}}$,
   6. $\operatorname {ch} 2x\pm \operatorname {sh} 2x=(\operatorname {sh} x\pm \operatorname {ch} x)^{2}$.
5. Формули кратних кутів:
   1. $\operatorname {sh} 3x=4\operatorname {sh} ^{3}x+3\operatorname {sh} x$,
   2. $\operatorname {ch} 3x=4\operatorname {ch} ^{3}x-3\operatorname {ch} x$,
   3. $\operatorname {th} 3x=\operatorname {th} x{\frac {3+\operatorname {th} ^{2}x}{1+3\operatorname {th} ^{2}x}}$,
   4. $\operatorname {sh} 5x=16\operatorname {sh} ^{5}x+20\operatorname {sh} ^{3}x+5\operatorname {sh} x$,
   5. $\operatorname {ch} 5x=16\operatorname {ch} ^{5}x-20\operatorname {ch} ^{3}x+5\operatorname {ch} x$,
   6. $\operatorname {th} 5x=\operatorname {th} x{\frac {\operatorname {th} ^{4}x+10\operatorname {th} ^{2}x+5}{5\operatorname {th} ^{4}x+10\operatorname {th} ^{2}x+1}}$.
6. Добуток
   1. $\operatorname {sh} x\operatorname {sh} y={\frac {\operatorname {ch} (x+y)-\operatorname {ch} (x-y)}{2}}$,
   2. $\operatorname {sh} x\operatorname {ch} y={\frac {\operatorname {sh} (x+y)+\operatorname {sh} (x-y)}{2}}$,
   3. $\operatorname {ch} x\operatorname {ch} y={\frac {\operatorname {ch} (x+y)+\operatorname {ch} (x-y)}{2}}$,
   4. $\operatorname {th} x\operatorname {th} y={\frac {\operatorname {ch} (x+y)-\operatorname {ch} (x-y)}{\operatorname {ch} (x+y)+\operatorname {ch} (x-y)}}$.
7. Суми
   1. $\operatorname {sh} x\pm \operatorname {sh} y=2\operatorname {sh} {\frac {x\pm y}{2}}\operatorname {ch} {\frac {x\mp y}{2}}$,
   2. $\operatorname {ch} x+\operatorname {ch} y=2\operatorname {ch} {\frac {x+y}{2}}\operatorname {ch} {\frac {x-y}{2}}$,
   3. $\operatorname {ch} x-\operatorname {ch} y=2\operatorname {sh} {\frac {x+y}{2}}\operatorname {sh} {\frac {x-y}{2}}$,
   4. $\operatorname {th} x\pm \operatorname {th} y={\frac {\operatorname {sh} x\pm y}{\operatorname {ch} x\operatorname {ch} y}}$.
8. Формули пониження степеня
   1. $\operatorname {ch} ^{2}{\frac {x}{2}}={\frac {\operatorname {ch} x+1}{2}}$,
   2. $\operatorname {sh} ^{2}{\frac {x}{2}}={\frac {\operatorname {ch} x-1}{2}}$.
9. Похідні:
   1. $(\operatorname {sh} x)^{\prime }=\operatorname {ch} x$,
   2. $(\operatorname {ch} x)^{\prime }=\operatorname {sh} x$,
   3. $(\operatorname {th} x)^{\prime }={\frac {1}{\operatorname {ch} ^{2}x}}$,
   4. $\operatorname {sh} x=\int \limits _{0}^{x}\operatorname {ch} tdt$,
   5. $\operatorname {ch} x=1+\int \limits _{0}^{x}\operatorname {sh} tdt$,
   6. $\operatorname {th} x=\int \limits _{0}^{x}{\frac {dt}{\operatorname {ch} ^{2}t}}$.
10. Інтеграли:
    1. $\int \operatorname {sh} x\,dx=\operatorname {ch} x+C$,
    2. $\int \operatorname {ch} x\,dx=\operatorname {sh} x+C$,
    3. $\int \operatorname {th} x\,dx=\ln \operatorname {ch} x+C$,
    4. $\int {\frac {1}{\operatorname {ch} ^{2}x}}\,dx=\operatorname {th} x+C$,
    5. $\int {\frac {1}{\operatorname {sh} ^{2}x}}\,dx=-\operatorname {cth} x+C$.

Дивись також: Таблиця інтегралів гіперболічних функцій, Таблиця інтегралів обернених гіперболічних функцій

Нерівності

При всіх $x\in \mathbb {R}$ виконується

1. $0\leq \operatorname {ch} x-1\leq |\operatorname {sh} x|<\operatorname {ch} x$,
2. $|\operatorname {th} x|<1$.

Розкладання в степеневі ряди

$\operatorname {sh} x=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+{\frac {x^{7}}{7!}}+\ldots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}$,

$\operatorname {ch} x=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{6}}{6!}}+\ldots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}$,

$\operatorname {th} x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}-{\frac {17x^{7}}{315}}+\ldots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},\quad |x|<{\frac {\pi }{2}}$,

$\operatorname {cth} x={\frac {1}{x}}+{\frac {x}{3}}-{\frac {x^{3}}{45}}+{\frac {2x^{5}}{945}}+\ldots ={\frac {1}{x}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}2^{2n}B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},\quad 0<|x|<\pi$ (Ряд Лорана).

Тут $B_{2n}$ — числа Бернуллі.

Графіки

sh(x), ch(x), th(x), cth(x)

Аналітичні властивості

Гіперболічний синус і гіперболічний косинус аналітичний у всій комплексній площині, за винятком істотно особливої точки на нескінченності. Гіперболічний тангенс аналітичний скрізь, окрім полюсів в точках $z=i\pi (n+{\tfrac {1}{2}})$, де $n$ — ціле. Лишки у всіх цих полюсах рівні одиниці. Гіперболічний котангенс аналітичний скрізь, окрім точок $z=i\pi n$, лишки в цих полюсах також рівні одиниці.

Див. також

• Обернені гіперболічні функції

Посилання

• Гіперболічні функції // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 184. — 594 с.
• Гиперболические функции - sh, ch, th, cth, sech, csch. www.math10.com. Архів оригіналу за 20 липня 2021. Процитовано 20 липня 2021. (рос.)
• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2403 с.(укр.)