Лишок

Ли́шок (від фр. résidu — лишок, англ. residue, рос. вычет) у комплексному аналізі — число (як дійсне, так і комплексне), яке описує поведінку криволінійних інтегралів мероморфних функцій у деякій особливій точці. За допомогою лишків можна обчислювати значення інтегралів різних типів, у тому числі дійсних.

Визначення

Нехай функція $f(z)\,$ має ізольовану особливу точку $z=a\,$ (або регулярна у цій точці). При скінченному $a\,$ лишком функції $f(z)\,$ у точці $z=a\,$ називається величина

$\mathrm {res} _{\text{z=a}}f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{|z-a|=\varrho }f(z)dz,$

де інтегрування проводиться по додатно орієнтованому контуру (при обході область залишається ліворуч). Оскільки $\varrho \,$ — будь-яке достатньо мале додатне число, а $f(z)\,$ — мероморфна, то величина вищевказаного інтегралу не залежить від значення цього параметра та шляху інтегрування.

Нескладно довести, що перший коефіцієнт розкладу функції $f(z)\,$ по степеням $z-a\,$ в ряд Лорана є лишком цієї функції:

$\mathrm {res} _{\text{z=a}}f(z)=C_{-1}\,$

Лишок у «нескінченності»

Для повного дослідження функції необхідно розглядати лишок у нескінченності (нескінченно віддалена точка на сфері Рімана). Нехай точка $z=\infty \,$ є ізольованою особливою точкою однозначного характеру функції $f(z)\,$, тоді лишком у нескінченності називається число

$\mathrm {res} _{\infty }f(z)=-{\frac {1}{2\pi i}}\oint _{|z|=R}f(z)dz$,

де $R\,$ — будь-яке достатньо велике додатне число. При цьому напрямок інтегрування по межі області обирається так, щоб область залишалася зліва (тобто проти годинникової стрілки).

Аналогічно до попереднього випадку, лишок у нескінченності можна представити у вигляді коефіцієнта лоранівського розкладу в околі нескінченно віддаленої точки:

$\mathrm {res} _{\infty }f(z)=-C_{-1}\,$

Логарифмічний лишок

Інтеграл виду

${\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {f'(z)}{f(z)}}dz$

називається логарифмічним лишком функції $f(z)\,$ відносно контуру С. Свою назву отримав через те, що підінтегральний вираз є похідною логарифма. Знаходить застосування у доведенні теореми Руше та основної теореми алгебри. Сам інтеграл визначається лише принципом аргументу:

${\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {f'(z)}{f(z)}}dz={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}(\mathrm {Ln} (f(z))'dz={\frac {1}{2\pi i}}\mathrm {Ln} (f(z))_{C}={\frac {1}{2\pi i}}(\ln |f(z)|+i\mathrm {arg} f(z))_{C}={\frac {1}{2\pi }}\Delta _{C}\mathrm {arg} f(z)$

Методи обчислення лишків

На практиці обчислювати лишки за означенням, тобто через контурний інтеграл, у багатьох випадках важко. Тому використовують наслідки з означення для особливих точок різного типу.

Усувна особлива точка

В усувній особливій точці лишок дорівнює нулю. Проте, у випадку з нескінченністю це не завжди так. Якщо в околі нескінченно віддаленої точки функція має розклад в ряд Лорана, то

$\mathrm {res} _{\infty }f(z)=-C_{-1}=\lim _{z\to \infty }[z(f(\infty )-f(z))]$

Полюс

• Простий полюс у точці $z=a\,$:

$\mathrm {res} _{\text{z=a}}f(z)=\lim _{z\to a}(f(z)(z-a))$

• Полюс кратності n у точці $z=a\,$:

$\mathrm {res} _{\text{z=a}}f(z)={1 \over (n-1)!}\lim _{z\to a}{{d^{(n-1)} \over dz^{(n-1)}}[f(z)(z-a)^{n}]}$

Проте, якщо функція представлена як частка двох голоморфних функцій: $f(z)={\frac {g(z)}{h(z)}}$, і $h(a)=0,h'(a)\neq 0\,$, то:

$\mathrm {res} _{\text{z=a}}f(z)={\frac {g(a)}{h'(a)}}$

Істотно особлива точка

У більшості випадків в істотно особливій точці лишок зручно знаходити, як коефіцієнт розкладу в ряд Лорана. Наприклад:

$f(z)=(2z-1)\cos {\frac {z}{z-1}}=(2(z-1)+1)\cos \left(1+{\frac {1}{z-1}}\right)=(2(z-1)+1)(\cos 1\cos {\frac {1}{z-1}}-\sin 1\sin {\frac {1}{z-1}})$

Розкладемо $\cos {\frac {1}{z-1}}\,$ та $\sin {\frac {1}{z-1}}\,$ в ряд Лорана:

$\cos {\frac {1}{z-1}}=1-{\frac {1}{2!(z-1)^{2}}}+{\frac {1}{4!(z-1)^{4}}}-...$

$\sin {\frac {1}{z-1}}={\frac {1}{z-1}}-{\frac {1}{3!(z-1)^{3}}}+{\frac {1}{5!(z-1)^{5}}}-...$

Тоді після підстановки цих розкладів та зведення подібних доданків, знаходимо:

$\mathrm {res} _{z=1}=C_{-1}=-\cos 1-\sin 1\,$

Див. також

• Інтегральна формула Коші
• Інтегральна теорема Коші
• Основна теорема про лишки

Джерела

• Грищенко А.О., Нагнибіда М.І., Настасів П.П. Теорія функцій комплексної змінної. — К.: Вища школа, 1994. — 375 ст.
• Евграфов М.А. Аналитические функции. — М.: Наука, 1965. — 471 ст.