Гіпотеза Бібербаха

Гіпотеза Бібербаха(після доведення також використовується назва теорема де Бранжа) — доведене припущення, висловлене в 1916 році німецьким вченим Людвігом Бібербахом щодо верхньої межі коефіцієнтів розкладу однолистих функцій у ряд Тейлора.

Позначимо $\Delta$ — відкритий одиничний круг комплексної площини: $\Delta =\{z:|z|<1\}$.

Нехай $S$ — множина всіх голоморфних і однолистих в $\Delta$ функцій $f(z)$ , що мають розклад у ряд Тейлора в околі нуля виду:

$f(z)=z+\sum _{n=2}^{\infty }c_{n}z^{n}.$

За гіпотезою коефіцієнти $|c_{n}|\leqslant n$ і додатково $c_{n}=n$ тільки для узагальнених функцій Кебе виду

$k_{\theta }(z)={\frac {z}{(1-ze^{i\theta })^{2}}}.$

Історія доведення гіпотези

• 1916 рік — висловлена гіпотеза. Бібербах довів справедливість гіпотези при $n=2$.
• 1923 рік — доведена гіпотеза для $n=3$. Автор доведення — Чарльз Левнер, для доведення був створений параметричний метод Левнера.
• 1955 рік — доведення для $n=4$. Автори — Пол Гарабедян і Менахем Макс Шифер. Метод, використаний при доведенні, був названий методом Шифера.
• 1968 1969 роки — дві незалежні роботи з підтвердженням гіпотези для $n=6$ — Роджер Педерсон і Міцуру Одзава.
• 1972 рік — доведена гіпотеза для $n=5$ — Педерсон, Шифер.

---

• 1925 рік — Джон Ідензор Літлвуд доводить, що $|c_{n}|\leqslant e\cdot n$ для будь-якого $n$.
• 1936 рік — американський математик Малкольм Робертсон припустив, що для непарних функцій $f\in S,$ розклад яких у ряд Тейлора, відповідно має вид:

$f(z)=z+b_{3}z^{3}+b_{5}z^{5}+\cdots$

і для всіх натуральних чисел n, виконується нерівність

$\sum _{k=1}^{n}|b_{2k+1}|^{2}\leqslant n.$

Дане припущення називається гіпотезою Робертсона. Робертсон довів, що із гіпотези Робертсона випливає гіпотеза Бібербаха.

• 1951 рік — Іван Базилевич і Ісаак Мілін довели співвідношення $|c_{n}|\leqslant e/2\cdot n+\mathrm {const}$.
• 1965 рік — Мілін: $|c_{n}|\leqslant 1{,}243\cdot n$.
• 1971 рік — Мілін припустив, що для функцій $f\in S,$ для всіх натуральних чисел n, виконується нерівність,

$\sum _{k=1}^{n}(n-k+1)(k|\gamma _{k}|^{2}-1/k)\leqslant 0$

де логарифмічні коефіцієнти γ_n для f одержуються із формули:

$\log(f(z)/z)=2\sum _{n=1}^{\infty }\gamma _{n}z^{n}.$

Мілін довін, що із цього припущення (гіпотези Міліна) випливає гіпотеза Робертсона, а тому і гіпотеза Бібербаха.

• 1972 рік — Карл Фітцджеральд: $|c_{n}|\leqslant {\sqrt {7/6}}n$.
• 1984 року — французький математик Луї де Бранж довів гіпотезу Міліна і відповідно гіпотези Робертсона і Бібербаха. Доведення де Бранжа було досить довгим. Воно зокрема використовувало нерівності щодо многочленів Якобі, які були доведені Аскі і Гаспером. Надалі простіші доведення гіпотези Бібербаха дали Фітцджеральд і Поммеренке у 1985 році, Кореваар у 1986 році і Вейнштейн у 1991 році.

Література

• Askey, Richard; Gasper, George (1976), Positive Jacobi polynomial sums. II, American Journal of Mathematics, 98 (3): 709—737, doi:10.2307/2373813, ISSN 0002-9327, JSTOR 2373813, MR 0430358
• Baernstein, Albert; Drasin, David; Duren, Peter та ін., ред. (1986), The Bieberbach conjecture, Mathematical Surveys and Monographs, т. 21, Providence, R.I.: American Mathematical Society, с. xvi+218, doi:10.1090/surv/021, ISBN 978-0-8218-1521-2, MR 0875226
• Bieberbach, L. (1916), Uber die Koeffizienten derjenigen Potenzreihen, welche eine schlichte Abbildung des Einheitskreises vermitteln, Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. Phys-Math. Kl.: 940—955
• Conway, John B. (1995), Functions of One Complex Variable II, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94460-9
• Drasin, David; Duren, Peter; Marden, Albert, ред. (1986), The Bieberbach conjecture, Proceedings of the symposium on the occasion of the proof of the Bieberbach conjecture held at Purdue University, West Lafayette, Ind., March 11—14, 1985, Mathematical Surveys and Monographs, Providence, RI: American Mathematical Society, т. 21, с. xvi+218, doi:10.1090/surv/021, ISBN 0-8218-1521-0, MR 0875226
• de Branges, Louis (1985), A proof of the Bieberbach conjecture, Acta Mathematica, 154 (1): 137—152, doi:10.1007/BF02392821, MR 0772434
• FitzGerald, Carl; Pommerenke, Christian (1985), The de Branges theorem on univalent functions, Trans. Amer. Math. Soc., 290 (2): 683, doi:10.2307/2000306, JSTOR 2000306
• Gong, Sheng (2014) [1999], The Bieberbach Conjecture, Studies in Advanced Mathematics, т. 12 (вид. Second), American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-2742-0.
• Hayman, W. K. (1994) [1958], Multivalent functions, Cambridge Tracts on Mathematics, т. 110 (вид. Second), Cambridge: Cambridge University Press, с. xii+263, ISBN 978-0-521-46026-2, MR 1310776, Zbl 0904.30001.
• Korevaar, Jacob (1986), Ludwig Bieberbach's conjecture and its proof by Louis de Branges, The American Mathematical Monthly, 93 (7): 505—514, doi:10.2307/2323021, ISSN 0002-9890, JSTOR 2323021, MR 0856290, архів оригіналу за 24 жовтня 2020, процитовано 7 січня 2020

• Koepf W. Bieberbach's conjecture, the de Branges and Weinstein functions and the Askey-Gasper inequality // The Ramanujan Journal, June 2007, Volume 13, Issue 1-3, pp 103—129. https://doi.org/10.1007/s11139-006-0244-2