Згасні коливання

Слабко згасні коливання маятника

Згасні́ колива́ння — коливання, енергія яких зменшується з плином часу.

Процес, що триває нескінченно, вигляду $\scriptstyle u(t)=A\cos(\omega t+q)$ в природі неможливий. Вільні коливання будь-якого осцилятора рано чи пізно загасають і припиняються. Тому на практиці звичайно мають справу зі згасними коливаннями. Вони характеризуються тим, що амплітуда коливань A є спадною функцією. Зазвичай загасання відбувається під дією сил опору середовища, найчастіше залежних лінійно від швидкості коливань $\scriptstyle u'_{t}$ або її квадрату.

В акустиці: загасання — зменшення рівня сигналу до повної нечутності.

Коливання можна описати такими типами:

• Надзгасні (англ. overdamped): Система повертається до рівноваги без коливань.
• Критично згасні (англ. critically damped): Система повертається до рівноваги так швидко як це можливо без коливань.
• Слабко згасні (англ. underdamped): Система коливається (з меншою частотою порівняно до незгасного випадку) з амплітудою, що поступово зменшується до нуля.
• Незгасні (англ. undamped): Система коливається в її природній резонансній частоті ($\omega _{0}$).

Лінійне згасання

Особливо корисний у математиці тип згасання — лінійне. Лінійне згасання зустрічається за умови коли змінна коливання амортизується силою, що впливає на неї прямо пропорційно до миттєвої швидкості змінювання, швидкості або похідної по часу самої змінної.

У фізиці й інженерії, згасання математично можна змоделювати як силу синхронну зі швидкістю об'єкта, але в протилежному напрямку до неї. Якщо ця сила пропорційна швидкості, як для простого механічного демпфера, силу $F$ можна співвіднести зі швидкістю $v$ так

$F=-cv\,,$

де c — коефіцієнт згасання, заданий в одиницях ньютон-секунда на метр.

Цю силу можна використовувати як приблизне тертя спричинене опором середовища і можна втілити за допомогою демпфера. (Цей пристрій використовує в'язку рідину, таку як мастило, для забезпечення спротиву який лінійно співвідноситься зі швидкістю.) Навіть коли тертя пов'язане з $v^{2}$, якщо швидкість обмежена маленьким діапазоном, то цій нелінійний вплив може бути маленьким. У такому разі, можна визначити лінеаризований коефіцієнт тертя $c_{lin}$ так, що він дає маленьку помилку.

Якщо наявна відновлювальна сила (така як завдяки пружині), яка пропорційна зміщенню $x$ і у протилежному напрямку, то через прирівнювання суми цих двох сил до маси об'єкта помноженої на прискорення можемо отримаємо диференціальне рівняння другого порядку чиї члени можна вишикувати таким чином:

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+2\zeta \omega _{0}{\frac {dx}{dt}}+\omega _{0}^{2}x=0,$

де ω₀ це незгасна кутова частота осцилятора і ζ відома як коефіцієнт згасання. Це рівняння чинне для багатьох коливальних систем, але з різними формулами для швидкості згасання і незгасної кутової швидкості.

Значення швидкості згасання ζ визначає поведінку системи так, що ζ = 1 відповідає критично згасним коливанням, більші значення відповідають надзгасним, а менші значення слабко згасним коливанням. Якщо ζ = 0, тоді коливання незгасні.

Приклад: маса-пружина-демпфер

Маса прикріплена до пружини та демпфера.

Ідеальна система маса-пружина-демпфер з масою m, коефіцієнтом жорсткості k і в'язким демпфером з коефіцієнтом в'язкості c піддається коливальній силі

$F_{\mathrm {s} }=-kx\,$

і гамувальній силі

$F_{\mathrm {d} }=-cv=-c{\frac {dx}{dt}}=-c{\dot {x}}.$

Розглядаючи масу як вільне тіло і застосовуючи другий закон Ньютона, сумарна сила F_tot на тіло така

$F_{\mathrm {tot} }=ma=m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=m{\ddot {x}}.$

де a це прискорення маси і x це зміщення маси щодо фіксованої точки.

Оскільки F_tot = F_s + F_d,

$m{\ddot {x}}=-kx+-c{\dot {x}}.$

Це диференціальне рівняння можна перегрупувати як

${\ddot {x}}+{c \over m}{\dot {x}}+{k \over m}x=0.\,$

Тоді визначені такі параметри:

$\omega _{0}={\sqrt {k \over m}}$

$\zeta ={c \over 2{\sqrt {mk}}}.$

Перший параметр, ω₀, називається (незгасна) природна частота системи. Другий параметр, ζ, називається швидкість згасання. Природна частота представляє кутову частоту, виражена в радіанах на секунду. Швидкість згасання є безрозмірнісною величиною.

Тепер диференційне рівняння набуває вигляду

${\ddot {x}}+2\zeta \omega _{0}{\dot {x}}+\omega _{0}^{2}x=0.\,$

Продовжуючи, ми можемо розв'язати рівняння припускаючи розв'язок x таким що:

$x=e^{\gamma t}\,$

де параметр $\gamma$ є, загалом кажучи, комплексним числом.

Підставляння цього розв'язку назад у диференціальне рівняння дає

$\gamma ^{2}+2\zeta \omega _{0}\gamma +\omega _{0}^{2}=0\,,$

що є характеристичним рівнянням.

Розв'язування характеристичного рівняння надасть нам два корені, $\gamma _{+}$ і $\gamma _{-}$. Які можуть бути або обидва дійсні, відмінні чи однакові, або обидва комплексні.

Поведінка системи

Часова залежність поведінки системи від значень коефіцієнта згасання ζ, для незгасного (синім), слабко згасного (зеленим), критично згасного (червоним) і надзгасного (блакитним) випадків, за умови нульової початкової швидкості.

Поведінка системи залежить від співвідношення значень двох засадничих параметрів, природної частоти ω₀ і коефіцієнту згасання ζ. Зокрема, якісна поведінка системи критично залежить на тому чи квадратне рівняння для γ має одне дійсне, два дійсних, чи два спряжених комплексних розв'язки.