Диференціальне рівняння другого порядку в частинних похідних

З двома змінними

Диференціальним рівнянням з частинними похідними другого порядку з двома незалежними змінними називається співвідношення між невідомою функцією $u(x,y)$ та її частинними похідними до другого порядку включно.

$F\left(x,y,{\frac {\partial u}{\partial x}},{\frac {\partial u}{\partial y}},{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}},{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x\partial y}},{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}\right)=0$

Рівняння називається лінійним відносно старших похідних, якщо воно має вигляд:

$a_{11}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+2a_{12}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x\partial y}}+a_{22}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+F_{0}\left(x,y,u,{\frac {\partial u}{\partial x}},{\frac {\partial u}{\partial y}}\right)=0$

де $a_{11},a_{12},a_{22}$ — функції від x та y.

Якщо $a_{11},a_{12},a_{22}$ є функціями також від $u,{\frac {\partial u}{\partial x}},{\frac {\partial u}{\partial y}}$, то таке рівняння називають квазілінійним.

Рівняння називається лінійним, якщо має вигляд:

$A{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+2B{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x\partial y}}+C{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+D{\frac {\partial u}{\partial x}}+E{\frac {\partial u}{\partial y}}+Fu=f(x,y)\ \ (1)$,

де $A,B,C,D,E,F$ — деякі функції від x та y.

Якщо $A,B,C,D,E,F$ — сталі, то рівняння називають лінійним рівнянням зі сталими коефіцієнтами.

Якщо $f(x,y)=0$, то рівняння однорідне, інакше неоднорідне.

Всю сукупність лінійних рівнянь можна поділити на три типи. Кожному з цих трьох типів відповідає певне рівняння найпростішого виду, яке називають канонічним.

За загальноприйнятою класифікацією, вважають, що рівняння (1) належить до

1. гіперболічного типу, якщо $D>0$;
2. параболічного типу, якщо $D=0$;
3. еліптичного типу, якщо $D<0$;

де $D=a_{12}^{2}-a_{11}a_{22}=B^{2}-AC$ (рівняння може належати до різних типів, в різних областях площини x,y)

З багатьма змінними

Розглянемо лінійне рівняння другого порядку з дійсними коефіцієнтами:

$\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}+\sum _{i=1}^{n}b_{i}{\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}+cu+f=0\ \ \ (a_{ij}=a_{ji})$

$a_{ij},b_{i},c,f$ — функції від $x_{1},\ldots x_{n}$.

Йому відповідає квадратична форма:

$Q(\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n})=\sum _{i,j=1}^{n}a_{ij}\lambda _{i}\lambda _{j}$

Зводимо її до канонічного виду, за допомогою лінійного перетворення, матрицю якого позначимо B.

• Рівняння еліптичне, якщо в всі коефіцієнти квадратичної форми відмінні від нуля, і одного знаку.
• Рівняння гіперболічне, якщо в всі коефіцієнти квадратичної форми відмінні від нуля, і один відрізняється знаком.
• Рівняння параболічне, якщо деякі коефіцієнти квадратичної форми нульові.

Література

• Перестюк М.О., Маринець В.В. Теорія рівнянь математичної фізики: Навч. посібник. (Zip) – К.: Либідь, 2001. – 336 с.
• Тихонов А. Н., Самарский А. А., Уравнения математической физики, М., 1983;
• Evans, L. C. (1998), Partial Differential Equations, Providence: American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0772-2 .