У Вікіпедії є статті про інші значення цього терміна:
Диференціал .
Якщо відображення, φ , переводить кожну точку многовида M у многовид N , тоді диференціал φ переводить вектори дотичного простору у кожній точці в M у дотичний простір для відповідної точки в N .
Диференціа́л (від лат. differentia — різниця, відмінність) у математиці — лінійна частина приросту диференційовної функції або відображення .
Це поняття тісно пов'язане з поняттям похідної за напрямком .
Для повного розуміння цієї статті від читача потрібні початкові уявлення про гладкі многовиди і їх дотичні простори .
Зазвичай диференціал
f
{\displaystyle f}
позначається
d
f
{\displaystyle df}
.
Деякі автори позначають
d
f
{\displaystyle \operatorname {d} f}
шрифтом прямого накреслення, бажаючи підкреслити, що диференціал є оператором .
Диференціал у точці
x
{\displaystyle x}
позначається
d
x
f
{\displaystyle d_{x}f}
, а інколи
d
f
x
{\displaystyle df_{x}}
або
d
f
[
x
]
{\displaystyle df[x]}
.
(
d
x
f
{\displaystyle d_{x}f}
є лінійна функція на дотичному просторі у точці
x
{\displaystyle x}
.)
Якщо
v
{\displaystyle v}
є дотичним вектором у точці
x
{\displaystyle x}
, то значення диференціала на
v
{\displaystyle v}
зазвичай позначають
d
f
(
v
)
{\displaystyle df(v)}
, у цьому позначення
x
{\displaystyle x}
зайве, але позначення
d
x
f
(
v
)
{\displaystyle d_{x}f(v)}
,
d
f
x
(
v
)
{\displaystyle df_{x}(v)}
і
d
f
[
x
]
(
v
)
{\displaystyle df[x](v)}
також правомірні.
Використовується так само позначення
f
∗
{\displaystyle f_{*}}
;
останнє зв'язане з тим, що диференціал
f
:
M
→
N
{\displaystyle f\colon M\to N}
є єдиним підняттям
f
{\displaystyle f}
на кодотичні розшарування до многовидів
M
{\displaystyle M}
і
N
{\displaystyle N}
.
Нехай
M
{\displaystyle M}
— гладкий многовид і
f
:
M
→
R
{\displaystyle f\colon M\to \mathbb {R} }
гладка функція.
Диференціал
f
{\displaystyle f}
являє собою 1-форму на
M
{\displaystyle M}
, що зазвичай позначається
d
f
{\displaystyle df}
і визначається наступним співвідношенням
d
f
(
X
)
=
d
p
f
(
X
)
=
X
f
,
{\displaystyle df(X)=d_{p}f(X)=Xf,}
де
X
f
{\displaystyle Xf}
позначає похідну
f
{\displaystyle f}
за напрямком дотичного вектора
X
{\displaystyle X}
у точці
p
∈
M
{\displaystyle p\in M}
.
Диференціал гладкого відображення із гладкого многовиду у многовид
F
:
M
→
N
{\displaystyle F\colon M\to N}
є відображенням між їх дотичними розшаруваннями ,
d
F
:
T
M
→
T
N
{\displaystyle dF\colon TM\to TN}
, таким що для будь-якої гладкої функції
g
:
N
→
R
{\displaystyle g\colon N\to \mathbb {R} }
маємо
[
d
F
(
X
)
]
g
=
X
(
g
∘
F
)
,
{\displaystyle [dF(X)]g=X(g\circ F),}
де
X
f
{\displaystyle Xf}
позначає похідну
f
{\displaystyle f}
за напрямком
X
{\displaystyle X}
. (У лівій частині рівності береться похідна у
N
{\displaystyle N}
функції
g
{\displaystyle g}
за
d
F
(
X
)
{\displaystyle dF(X)}
; у правій — в
M
{\displaystyle M}
функції
g
∘
F
{\displaystyle g\circ F}
за
X
{\displaystyle X}
).
Це поняття природним чином узагальнює поняття диференціала функції.
Точка
x
{\displaystyle x}
многовиду
M
{\displaystyle M}
називається критичною точкою відображення
f
:
M
→
N
{\displaystyle f:M\to N}
, якщо диференціал
d
x
f
:
T
x
M
→
T
f
(
x
)
N
{\displaystyle d_{x}f:T_{x}M\to T_{f(x)}N}
не є сюр'єктивним. (див. також теорема Сарда )
У цьому випадку
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
називається критичним значенням
f
{\displaystyle f}
.
Точка
y
∈
N
{\displaystyle y\in N}
називається регулярною , якщо вона не є критичною.
Гладке відображення
F
:
M
→
N
{\displaystyle F\colon M\to N}
називається субмерсією , якщо для будь-якої точки
x
∈
M
{\displaystyle x\in M}
, диференціал
d
x
F
:
T
x
M
→
T
F
(
x
)
N
{\displaystyle d_{x}F\colon T_{x}M\to T_{F(x)}N}
є сюр'єктивним .
Гладке відображення
F
:
M
→
N
{\displaystyle F\colon M\to N}
називається гладким зануренням , якщо для будь-якої точки
x
∈
M
{\displaystyle x\in M}
, диференціал
d
x
F
:
T
x
M
→
T
F
(
x
)
N
{\displaystyle d_{x}F\colon T_{x}M\to T_{F(x)}N}
є ін'єктивним .
Диференціал композиції рівний композиції диференціалів:
d
(
F
∘
G
)
=
d
F
∘
d
G
{\displaystyle d(F\circ G)=dF\circ dG}
или
d
x
(
F
∘
G
)
=
d
G
(
x
)
F
∘
d
x
G
{\displaystyle d_{x}(F\circ G)=d_{G(x)}F\circ d_{x}G}
Нехай у відкритій множині
Ω
⊂
R
{\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} }
задана гладка функція
f
:
Ω
→
R
{\displaystyle f\colon \Omega \to \mathbb {R} }
. Тоді
d
f
=
f
′
d
x
{\displaystyle df=f'\,dx}
, де
f
′
{\displaystyle f'}
позначає похідну
f
{\displaystyle f}
, а
d
x
{\displaystyle dx}
є сталою формою, що визначається
d
x
(
V
)
=
V
{\displaystyle dx(V)=V}
.
Нехай у відкритій множині
Ω
⊂
R
n
{\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}
задана гладка функція
f
:
Ω
→
R
{\displaystyle f\colon \Omega \to \mathbb {R} }
. Тоді
d
f
=
∑
i
=
1
n
∂
f
∂
x
i
d
x
i
{\displaystyle df=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\,dx_{i}}
. Форма
d
x
i
{\displaystyle dx_{i}}
може бути визначена співвідношенням
d
x
i
(
V
)
=
v
i
{\displaystyle dx_{i}(V)=v_{i}}
, для вектора
V
=
(
v
1
,
v
2
,
…
,
v
n
)
{\displaystyle V=(v_{1},\;v_{2},\;\ldots ,\;v_{n})}
.
Нехай у відкритій множині
Ω
⊂
R
n
{\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}
задано гладке відображення
F
:
Ω
→
R
m
{\displaystyle F\colon \Omega \to \mathbb {R} ^{m}}
. Тоді
d
x
F
(
v
)
=
J
(
x
)
v
,
{\displaystyle d_{x}F(v)=J(x)v,}
де
J
(
x
)
{\displaystyle J(x)}
є матрицею Якобі відображення
F
{\displaystyle F}
у точці
x
{\displaystyle x}
.