Досконалий простір

G _δ-простір — це топологічний простір, у якому закриті множини певним чином «відокремлені» від своїх доповнень за допомогою лише лічильної кількості відкритих множин. Таким чином, G _δ-простір можна розглядати як простір, що задовольняє інший вид аксіом відокремлюваності. Насправді нормальні G _δ-простори називають досконалими нормальними просторами і задовольняють найсильнішу з аксіом поділу .

G _δ-простори також називають досконалими просторами.^[1] Термін досконалий також використовується, в іншому значенні, для позначення простору без ізольованих точок; див. Досконала множина .

Визначення

Зліченний перетин відкритих множин топологічного простору є топологічним простором, що називається G_δ-множиною. Вочевидь, кожна відкрита множина є G_δ-множиною. Аналогічно, зліченне об'єднання замкнених множин називається F_σ-множиною. Вочевидь, кожна замкнена множина є F_σ-множиною.

Топологічний простір X називається G_δ-простором, якщо кожна замкнена підмножина X є G_δ-множиною. Аналогічно та еквівалентно, G_δ-простір це простір, в якому кожна відкрита множина є F_σ-множиною.

Властивості та приклади

Кожен підпростір G_δ-простору є G_δ-простором.
Кожен метризовний простір є G_δ-простором. Це також справедливо для псевдометризовних просторів.
Кожен регулярний простір, що задовольняє другий аксіомі зліченності є G_δ-простором. Це наслідок теореми Урисона про метризацію у випадку Гаусдорфового простору, але це також можна просто показати безпосередньо.^[2]
Кожен зліченний регулярний простір є G_δ-простором.
Кожен регулярний спадково Ліндельофів простір є G_δ-простором. Такі простори насправді є досконало нормальними. Це узагальнюється на попередні пункти про другі зліченні та зліченні регулярні простори.

Примітки

↑ Engelking, 1.5.H(a), p. 48
↑ General topology - Every regular and second countable space is a $G_\delta$ space, without assuming Urysohn's metrization theorem.

Список літератури

Engelking, Ryszard (1989). General Topology. Heldermann Verlag, Berlin. ISBN 3-88538-006-4.
Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Counterexamples in Topology (вид. Dover Publications reprint of 1978), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-486-68735-3, MR 0507446
Roy A. Johnson (1970). «A Compact Non-Metrizable Space Such That Every Closed Subset is a G-Delta». The American Mathematical Monthly, Vol. 77, No. 2, pp. 172–176. on JStor

[1] Engelking, 1.5.H(a), p. 48

[2] General topology - Every regular and second countable space is a $G_\delta$ space, without assuming Urysohn's metrization theorem.

[1]

[2]