Електромагнітний 4-потенціал — це контраваріантний 4-вектор, часовою компонентою якого є скалярний потенціал
, а просторовою — векторний потенціал
(всі формули на цій сторінці дані у системі СГС). Таким чином,
.
Введення компонент 4-потенціалу і отримання рівнянь на них
[ред. | ред. код]
Рівняння Максвелла
можна тотожньо задовольнити, якщо ввести векторний потенціал
як
.
Підставивши цей вираз для
у рівняння для ротора напруженості електричного поля, можна отримати
,
де введений скалярний потенціал
. Тепер можна переписати вираз для сили, що діє на заряд, що рухається, у електромагнітному полі, за допомогою виразів, отриманих для потенціалів:
.
Використовуючи, знову ж таки, векторний потенціал і
, можна переписати також рівняння для ротора індукції магнітного поля і для дивергенції напруженості електричного поля:
,
.
Якщо задовольнити умову
(умова калібрування Лоренца), то вирази набудуть більш простого вигляду:
.
Обґрунтування.
Вирази
можна спростити, якщо використати властивість неоднозначної визначеності потенціалів. Дійсно, векторний потенціал є визначеним з точністю до доданку - градієнту скалярної функції (при додаванні такого доданку рівняння Максвелла для дивергенції вектора індукції не змінюється):
.
Якщо також додати до скалярного потенціалу похідну від цієї ж самої функції,
,
то значення напруженості електричного поля, як і індукції магнітного поля, визначені через ці потенціали, не зміняться:
.
Внаслідок цієї невизначеності можна накласти наступну умову на векторний і скалярний потенціал:
.
Ця умова називається калібруванням Лоренца. Дійсно,
.
Підбором функції
можна добитися рівності нулю величини
, що й треба було довести.
Такі рівняння називаються рівняннями д'Аламбера.
Ідентичність двох рівнянь з
дозволяє припустити, що і в лівій, і в правій частині знаходяться компоненти двох 4-векторів:
. Тоді рівняння
можуть бути записані як одне:
,
причому перетворення Лоренца для компонент можуть бути записані як
.
Для доведення цього достатньо показати, що векторний і скалярний потенціали перетворюються як компоненти 4-вектора.
Доведення.
Вивести перетворення для
можна таким шляхом: записати перетворення для
, порівняти отримані вирази із перетвореннями Лоренца для полів і звідти вже отримати перетворення для
. Для спрощення виведення можна співнапрямити вісь
із вектором відносної швидкості ІСВ:
.
Будуть потрібні перетворення похідних:
.
Виведення.
Доцільно використати перетворення для радіус-вектора та для часу. Обернені перетворення Лоренца для них виглядають наступним чином:
.
Тоді, переходячи від змінних
до
,
,
можна отримати:
.
Звідси слідує, що
,
.
Також, звичайно, потрібні перетворення для полів:
,
.
Тоді для вектора
можна записати:
.
Тепер кожну рівність можна проаналізувати окремо. Із першої рівності слідує, що повинна виконуватися умова
. Дійсно, це слідує з довільності
і з того, що
.
Для отримання перетворень
достатньо розглянути одну із двох рівностей, що залишились. Можна взяти другу рівність:
.
Звідси слідує, що
.
Далі можна використати перетворення для
(умова щодо вибору системи координат залишилась незмінною):
.
Отримані перетворення, вочевидь, є перетвореннями компонент 4-вектора. Їх дуже просто, як і в випадку із радіус-вектором, узагальнити:
.























Розв'язок рівнянь д'Аламбера для компонент потенціалу
[ред. | ред. код]
Отримані рівняння д'Аламбера можна розв'язати із наступних міркувань.
Загальний розв'язок рівнянь Пуассона для
дається інтегралами
.
У неоднорідному нестаціонарному випадку густина заряду і струму увесь час змінюється, причому інформація про це досягає спостерігача лише за час
. Оскільки, окрім того, у рівнянні д'Аламбера присутня похідна по часу, то природно, що розв'язок цього рівняння для скалярного потенціалу і для кожної компоненти векторного потенціалу залежить не тільки від
, а й від
, що виражає час запізнення:
. Тоді можна допустити, що розв'язком рівняння д'Аламбера є той же інтеграл Пуассона, проте тепер густина є функцією і від часу. Наприклад, для
:
,
де
— функція, що задовільняє хвильовому рівнянню.
Доведення.
Можна безпосередньо перевірити вірність цього припущення. Для початку можна послідовно знайти значення лапласіана від густини, поділеної на
:
.
Лапласіан від виразу
просто отримани із рівняння Максвелла для дивергенції напруженості електричного поля статичного заряду:
.
Якщо підставити всі ці вирази у
, можна отримати, що
.
Далі треба врахувати два аспекти. По-перше, величини
у будь-який момент часу не залежать від
: перший вектор відповідає фіксованій точці простору, другий - змінній інтегрування. Тому
еквівалентно
. А отже,
.
По-друге, користуючись "фільтрувальною" властивістю дельта-функції, можна записати, що
.
Отже, наведені розв'язки для скалярного і векторного потенціалів задовольняють рівнянню д'Аламбера.



