Задача Коші для рівняння теплопровідності

Класичною задачею Коші для рівняння теплопровідності називається задача^[1] знаходження функції $u=u(x,t)$ , визначеної в області $\{x\in \mathbb {R} ,t\geq 0\}$ , яка є розв’язком рівняння теплопровідності $\Delta u-{\frac {1}{a^{2}}}{\frac {\partial u}{\partial t}}=-{\frac {f(x,t)}{k}},\;x\in \mathbb {R} ^{n},\;t\geq 0$ і задовільняє початкові умови: $u(x,0)=\phi (x),\;x\in \mathbb {R} ^{n},\;t>0$ ,

 $\;\phi ,f$ -задані функції

Дана задача описує процес поширення тепла в необмеженій області ( $u$ -температура), якщо задана температура всіх точок при $t=0$

Класичним розв'язком задачі Коші для рівняння теплопровідності називається функція $u(x,t)\in C_{x,t}^{2,1}(\mathbb {R} ^{n}\times (0;\infty ))\cap C(\mathbb {R} ^{n}\times [0;\infty ))$ , яка є розв'язком рівняння теплопровідності в області $\{x\in \mathbb {R} ^{n},\;t>0\}$ ,і задовільняє початкові умови на множині $\{x\in \mathbb {R} ^{n},\;t=0\}$

Необхідною умовою існування розв'язку є $\phi (x)\in C(\mathbb {R} ^{n}),\;f(x,t)\in C(\mathbb {R} ^{n}\times (0;\infty ))$

Єдиність розв'язку задачі Коші для рівняння теплопровідності: Якщо в класі неперервних і обмежених функцій існує розв'язок задачі Коші для рівняння теплопровідності, то він єдиний.

Фундаментальний розв'язок рівняння теплопровідності

^[2]

Розглянемо однорідне рівняння теплопровідності $\Delta u-{\frac {1}{a^{2}}}{\frac {\partial u}{\partial t}}=0,\;x\in \mathbb {R} ^{n},\;t\geq 0$

Якщо шукати розв'язок цього рівняння методом відокремлення змінних $u=X(x)T(t)$ то $e^{-a^{2}\lambda ^{2}t}\cos {\lambda x}$ буде частинним розв'язком( $\lambda ^{2}=const$ )

Тоді розв'язком буде $I(x,t)=\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-a^{2}\lambda ^{2}t}\cos {\lambda x}\,d\lambda$ , якщо він збігається і його можна почленно диференціювати двічі по $x$ і один раз по $t$ .

Диференціювання по $x$ :

${\frac {\partial I(x,t)}{\partial x}}=-\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-a^{2}\lambda ^{2}t}\lambda \sin {\lambda x}\,d\lambda ={\frac {1}{2a^{2}t}}\int _{-\infty }^{+\infty }\sin {\lambda x}\,de^{-a^{2}\lambda ^{2}t}={\frac {1}{2a^{2}t}}\left[\left.\sin {\lambda x}e^{-a^{2}\lambda ^{2}t}\right|_{-\infty }^{+\infty }-x\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-a^{2}\lambda ^{2}t}\cos {\lambda x}\,d\lambda \right]={\frac {x}{2a^{2}t}}I(x,t)$

${\frac {\partial I(x,t)}{\partial x}}={\frac {x}{2a^{2}t}}I(x,t)$

$I(x,t)=ce^{-{\frac {x^{2}}{4a^{2}t}}}$

$I(0,t)=c=\left.{\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-a^{2}\lambda ^{2}t}\cos {\lambda x}\,d\lambda }\right|_{x=0}=\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-a^{2}\lambda ^{2}t}={\begin{vmatrix}a\lambda {\sqrt {t}}=\xi \\a{\sqrt {t}}\;d\lambda =d\xi \\d\lambda ={\frac {d\xi }{a{\sqrt {t}}}}\end{vmatrix}}={\frac {1}{a{\sqrt {t}}}}\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-\xi ^{2}}\;d\xi ={\frac {\sqrt {\pi }}{a{\sqrt {t}}}}\;\Rightarrow \;I(x,t)={\frac {\sqrt {\pi }}{a{\sqrt {t}}}}e^{-{\frac {x^{2}}{4a^{2}t}}}$

Внаслідок однорідності рівняння,якщо розв'язок поділити на константу то цей вираз буде теж розв'язком.

$\varepsilon (x,x',t)={\frac {1}{2\pi }}I(x-x',t)={\frac {1}{2a{\sqrt {\pi t}}}}e^{-{\frac {(x-x')^{2}}{4a^{2}t}}}$ -фундаментальний розв'язок рівняння теплопровідності при $n=1$ .

Узагальнення фундаментального розв'язку рівняння теплопровідності для довального $n$ :

$\varepsilon (x,x',t)={\frac {1}{(2a{\sqrt {\pi t}})^{n}}}e^{-{\frac {|x-x'|^{2}}{4a^{2}t}}},\;|x-x'|^{2}=\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-x_{i}')^{2},\;x'$ -параметр.

Властивості фундаментального розв'язку рівняння теплопровідності

Фундаментальний розв'язок є не нескінченно диференційованою по $x$ і по $t$ функцією за винятком $x=x',t=0$ .
Функція $\varepsilon$ , як функція від $x$ і $t$ є розв'язком однорідного рівняння теплопровідності
$\int _{\mathbb {R} ^{n}}\varepsilon (x,x',t)\;dx'=1,\;t>0$
Нехай $f(x)$ - неперервна і обмежена функція у просторі $\{x\in \mathbb {R} ,t>0\}$ .Тоді має місце гранична рівність:

$\lim _{t\to 0+}\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x')\varepsilon (x,x',t)\;dx'=f(x)$

Властивості 3,4 вказують на те, що функція $\varepsilon$ є $\delta$ -функцією, тобто $\;\varepsilon (x,x',t)\;\rightarrow \;\delta (x-x'),\;t\to 0+$ .

Фізичний зміст фундаментального розв'язку

^[2]

Нехай в точці $x'\in \mathbb {R} ^{n}$ в момент часу $t=0$ , до якого температура точок області була нульовою, миттєво виділяється одинична кількість тепла. За рахунок цього тепла температура точок простору підвищується.

Позначення:

   $u(x,t)$  -температура  $t>0$ ;

   $dx$  -елемент об'єму;

   $\rho$  - густина;

   $c$ - теплоємність.

Для підвищення температури об'єму $dx$ на величину $u(x,t)$ необхідно витратити таку кількість тепла $dQ=\rho cu(x,t)dx$ . За законом збереження тепла $\int _{\mathbb {R} ^{n}}\rho cu(x,t)dx=1$ .

Підінтегральна функція $u(x,t)$ , а значить і функція $\rho cu(x,t)$ , є розв'язком однорідного рівняння теплопровідності.

Такі властивості має і фундаментальний розв'язок, отже, можна покласти $\;\rho cu(x,t)=\varepsilon (x,x',t)$

       $u(x,t)={\frac {1}{\rho c}}\varepsilon (x,x',t)$

Таким чином, фундаментальний розв'язок з точністю до множника ${\frac {1}{\rho c}}$ являє собою температуру в точці $x$ в момент часу $t=0$ , при умові, що температура в цьому просторі до цього моменту дорівнювала $0$ .

Функцію $\varepsilon$ ще називають функцією одиничного миттєвого джерела. Графіком розв'язку цієї функції від $x$ для фіксовного $x'$ і моментів $0<t_{1}<t_{2}<\cdots$ є криві, що називаються кривими Гауса. Площа під кожною кривою рівна $1$ .

Розв'язок задачі Коші для рівняння теплопровідності

Розв'язок задачі Коші має вигляд $u(x,t)=u_{1}(x,t)+u_{2}(x,t)$ ,

де $u_{1}(x,t)$ -розв'язок задачі Коші:

$\Delta u_{1}-{\frac {1}{a^{2}}}{\frac {\partial u_{1}}{\partial t}}=0,\;x\in \mathbb {R} ^{n},t>0$ ,

$\left.u_{1}\right|_{t=0}=\phi (x),\;x\in \mathbb {R} ^{n}$ ;

$u_{2}(x,t)$ -розв'язок задачі Коші:

$\Delta u_{2}-{\frac {1}{a^{2}}}{\frac {\partial u_{2}}{\partial t}}=-{\frac {f}{k}},\;x\in \mathbb {R} ^{n},t>0$ ,

$\left.u_{2}\right|_{t=0}=0,\;x\in \mathbb {R} ^{n}$ .

$u_{1}(x,t)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\phi (x')\varepsilon (x,x',t)\;dx'$

$u_{2}(x,t)=\int _{0}^{t}\eta (x,t,t_{0})\;dt_{0}$ ,

де функція $\eta$ є розв'язком задачі:

$\Delta \eta -{\frac {1}{a^{2}}}{\frac {\partial \eta }{\partial t}}=0,\;x\in \mathbb {R} ^{n},t>0$ ,

$\left.\eta (x,t,t_{0})\right|_{t=t_{0}}={\frac {a^{2}}{k}}f(x,t_{0}),\;x\in \mathbb {R} ^{n}$

$\eta (x,t,t_{0})=\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\frac {a^{2}}{k}}f(x',t_{0})\varepsilon (x,x',t-t_{0})\;dx'$

Таким чином, розв'язок задачі Коші для рівняння теплопровідності має вигляд:

$u(x,t)={\frac {1}{(2a{\sqrt {\pi t}})^{n}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}\phi (x')e^{-{\frac {|x-x'|^{2}}{4a^{2}t}}}\;dx'+$

$+\int _{0}^{t}\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\frac {1}{(2a{\sqrt {\pi (t-t_{0})}})^{n}}}{\frac {a^{2}}{k}}f(x',t_{0})e^{-{\frac {|x-x'|^{2}}{4a^{2}(t-t_{0})}}}\;dx'\,dt_{0}$ - формула Пуассона

Примітки

↑ Алтунин К.К. Методы математической физики. – М.: Директ-Медиа, 2014. – 123 с.
↑ ^а ^б Араманович И.Г., Левин В.И. Уравнения математической физики. – М.: Наука, 1969. – 288 с.

[1] Алтунин К.К. Методы математической физики. – М.: Директ-Медиа, 2014. – 123 с.

[ReferenceA-2] а ^б Араманович И.Г., Левин В.И. Уравнения математической физики. – М.: Наука, 1969. – 288 с.

[1]

[2]