Надалі введено позначення Задача Штурма-Ліувілля — ЗШЛ.
Розглянемо оператор
,
перепишемо його у вигляді:
та введемо додаткові умови
.
Надалі будемо вважати, що
крім того,
Знайти значення параметра
при яких існують нетривіальні розв'язки задачі
,
такі, що
і знайти ці розв'язки.
Введемо область визначення оператора
:
,
які задовольняють крайові умови
,
і такі, що
.
- Якщо довільні функції
належать області
, то має місце рівність:
.
- Оператор
ЗШЛ є самоспряженим, тобто
виконується
.
- Оператор
ЗШЛ є додатньовизначеним:
.
Вказані вище значення параметра
називається власними значеннями ЗШЛ, а відповідні їм розв'язки — власними функціями цієї задачі.
Основні властивості власних значень і власних функцій ЗШЛ[3]
[ред. | ред. код]
- Власні значення ЗШЛ утворюють зліченну множину.
- Власні функції, які відповідають різним власним значенням, ортогональні між собою з вагою
, тобто
, де
— власні функції.
- Власні значення ЗШЛ — дійсні та невід'ємні.
- Власні значення ЗШЛ — прості, тобто одному власному значенню не може відповідати дві і більше лінійно незалежних власних функції.
- Власні функції ЗШЛ можна вибрати дійсними.
- ↑ Владимиров В. С. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1971. — 512с.
- ↑ а б Кошляков Н. С. и др. Уравнения в частных производных математической физики. — М.: Высшая школа, 1970. — 712с.
- ↑ Перестюк М. О., Маринець В. В. Теорія рівнянь математичної фізики. — К.: Либідь, 2001. — 336 с.