Зведена маса - міра інерційності відносного руху матеріальних точок. Ця величина дозволяє звести задачу двох тіл до задачі одного тіла.
Зазвичай позначається літерою μ і має розмірність маси.
Зведена маса двох тіл із масами
та
дорівнює
.
Зведена маса менша за масу обох тіл.
Рівняння можна отримати таким чином.
Використовуючи другий закон Ньютона, сила з якою тіло 2 діє на тіло 1 є
![{\displaystyle \mathbf {F} _{12}=m_{1}\mathbf {a} _{1}.\!\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aeb8f380ce92344ca38abfc65dc1e99f48a7dc2b)
Сила з якою тіло 1 діє на тіло 2 є
![{\displaystyle \mathbf {F} _{21}=m_{2}\mathbf {a} _{2}.\!\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb168561a51a65f65902db3bf1c5d2efac9be1d3)
Згідно з третім законом Ньютона, ці сили рівні за модулем і протилежні за напрямком:
![{\displaystyle \mathbf {F} _{12}=-\mathbf {F} _{21}.\!\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f9ae255acf7ac5d25660339dca92bac68beaa17)
Отже,
![{\displaystyle m_{1}\mathbf {a} _{1}=-m_{2}\mathbf {a} _{2}.\!\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6e0d5efc01386d1850397e0dc6f1952cc96a29d)
![{\displaystyle \mathbf {a} _{2}=-{m_{1} \over m_{2}}\mathbf {a} _{1}.\!\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6ff0341e053e97bff2a42c49db11deec77da1fd)
Відносне прискорення arel між двома тілами задане як
![{\displaystyle \mathbf {a} _{\rm {rel}}=\mathbf {a} _{1}-\mathbf {a} _{2}=\left(1+{\frac {m_{1}}{m_{2}}}\right)\mathbf {a} _{1}={\frac {m_{2}+m_{1}}{m_{1}m_{2}}}m_{1}\mathbf {a} _{1}={\frac {\mathbf {F} _{12}}{m_{\rm {red}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7a83467caed1ebb7c2d6277aa137f3194b34433)
Отже ми можемо дійти висновку, що тіло 1 рухається щодо позиції тіла 2 як тіло маса якого дорівнює зведеній масі.
Інакше, опис Лагранжа задачі двох тіл дає Лагранжіан
![{\displaystyle L={1 \over 2}m_{1}\mathbf {\dot {r}} _{1}^{2}+{1 \over 2}m_{2}\mathbf {\dot {r}} _{2}^{2}-V(|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|)\!\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/070fbe8e02f23a7a4f89c7956d9738c9e5d5122a)
де r це вектор позиції маси mi (частинки
). Потенціальна енергія V це функція яка залежить лише від відстані між двома частинками. Якщо ми визначимо
![{\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d67120d18e5178eeaf70f2d4094d32fa43f43f21)
і покладемо початок координат в одну точку з центром мас, тобто
,
тоді
![{\displaystyle \mathbf {r} _{1}={\frac {m_{2}\mathbf {r} }{m_{1}+m_{2}}},\mathbf {r} _{2}={\frac {-m_{1}\mathbf {r} }{m_{1}+m_{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af854b09dadcc58d8de1dee184b5ba16df48a90e)
Тепер, підставляючи, отримуємо новий Лагранжіан
![{\displaystyle L={1 \over 2}\mu \mathbf {\dot {r}} ^{2}-V(r),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f249bf04d0126af4fbc0c0f49b2b94a86559ba37)
де
![{\displaystyle \mu ={\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e20bb87cd05f5b84de1f51896b171fb0232d04f)
є зведеною масою. Отже, ми звели задачу двох тіл до задачі з одним тілом.
- Федорченко А.М. (1975). Теоретична механіка. Київ: Вища школа., 516 с.