Згортка тензора

Згортка в тензорному численні — операція пониження валентності тензора на 2, котра переводить тензор валентності $(m,n)$ в тензор валентності $(m-1,n-1)$. Згортку можна розглядати як узагальнення сліду матриці. В координатах вона записується таким чином:

${T_{j_{1}\dots {\underline {j_{0}}}\dots ,j_{n}}}^{i_{1}\dots {\underline {i_{0}}}\dots ,i_{n}}\rightarrow {T_{j_{1}\dots ,j_{n}}}^{i_{1}\dots ,i_{n}}={T_{j_{1}\dots {\underline {i_{0}}}\dots ,j_{n}}}^{i_{1}\dots {\underline {i_{0}}}\dots ,i_{n}}$ де застосовано правило сумування Ейнштейна за різноваріантними індексами, що повторюються.

Часто операцію згортки проводять над тензорами, що є добутками тензорів. Наприклад, $A_{j}^{i}B_{k}^{j}$ є запис звичайного множення матриці А на матрицю B (тобто $\sum _{j=1}^{N}A_{ij}B_{jk}$).

У випадку евклідового простору в ортогональній системі віднесення різниця між ко- і контраваріантними компонентами тензорів зникає, і згортку можна вести за будь-якими двома індексами. Проте, при роботі в криволінійних або косокутних координатах згортка знов визначається тільки у випадку, якщо один з індексів підсумовування верхній, а інший нижній. В метричному просторі ко- і контраваріантні індекси можна однозначно переводити один в одного, тому при використанні метричного тензора згортку можна вести також за будь-якою парою індексів.

Приклади

• Згортка тензора за двійкою індексів, за якими він анти(косо)симетричний, дає нульовий тензор.
• Згортка $A_{\ j}^{i}v^{j}$ вектора v із тензором A рангу (1,1) представляє множення вектора на лінійний оператор, яким є такий тензор по відношенню до вектора.