Класифікація електромагнітних полів

У диференціальній геометрії та теоретичній фізиці класифікація електромагнітних полів є точковою класифікацією бівекторів у кожній точці лоренцевого різноманіття.

Теорема про класифікацію

Електромагнітне поле в точці p, тобто подія, лоренцевого простору-часу представляє собою дійсний бівектор F = F^ab визначений над дотичним простором у p.

Дотичний простір при p ізометричний як дійсний внутрішній простір до E ^1,3. Тобто він має таке саме поняття величини та кута вектора, як і простір-час Мінковського. Щоб спростити позначення, ми припустимо, що простір-час є Мінковським простір-часом.

Бівектор F є характеристикою теореми про класифікацію електромагнітних полів по відношенню до метрики Лоренца η = η_ab шляхом вивчення та визначення "основних нульових напрямків".

Це означає, що бівектор F ^ab отримує кососиметричний лінійний оператор F^a_b = F^acη_cb визначений зниженням одного показника з метрикою. Він діє на дотичний простір при p на r^a → F^a_br^b. Символ F використовується для позначення бівектора.

Ми згадуємо дихотомію, взяту з зовнішньої алгебри. Бівектор називається простим коли його можна записати як F = v ∧ w, де v, w лінійно незалежні величини. Будь ненульовий бівектор над 4-мірним векторним простором або простий, або може бути записаний як F = v ∧ w + x ∧ y, де v, w, x та y лінійно незалежні. Сформульована таким чином, дихотомія посилається на зовнішню алгебру. Легко бачити, що асоційований кососімметрічний лінійний оператор F a b має ранг 2 в першому випадку і ранг 4 у другому.^[1]

Щоб сформулювати теорему кваліфікації електромагнітних полів, ми розглядаємо проблему власних значень для F, тобто завдання пошуку власних значень λ і власних векторів r, що задовольняють рівняння для власних значень

F^{a}{}_{b}r^{b}=\lambda \,r^{a}.

Коса симетрія F означає, що:

або власний вектор r є нульовим вектором (тобто η(r,r) = 0 ), або власне значення λ дорівнює нулю, або обидва.

Одномірний підпростір, який породжений нульовим власним вектором, називається головним нульовим напрямком бівектора.

Теорема характеризує можливі головні нульові напрямки бівектора. У ній зазначено, що для будь-якого ненульового бівектора повинен виконуватися один з указаних варіантів:

бівектор має один "повторний" головний нульовий напрямок; в даному випадку, сам бівектор вважається нульовим ,
бівектор має два різних головних нульових напрямки; у цьому випадку бівектор називається ненульовим.

Зазначимо, що для будь-якого ненульового бівектора два власні значення, пов'язані з двома різними основними нульовими напрямками, мають рівнозначну величину, але протилежний знак, λ = ±ν, тому є три підкласи ненульових бівекторів:

космічні : ν = 0
часові : ν ≠ 0 і rank F = 2
непрості : ν ≠ 0 і rank F = 4 ,

де ранг відноситься до рангу лінійного оператора F.

Фізичне пояснення

Дана алгебраїчна класифікація бівекторів має важливе застосування в релятивістській фізиці : електромагнітне поле представлено кососиметричним полем тензору другого рангу і ми отримуємо алгебраїчну класифікацію електромагнітних полів.

Тензор електромагнітного поля у декартовій діаграмі космічного часу Мінковського має складові

F_{ab}=\left({\begin{matrix}0&B_{z}&-B_{y}&E_{x}/c\\-B_{z}&0&B_{x}&E_{y}/c\\B_{y}&-B_{x}&0&E_{z}/c\\-E_{x}/c&-E_{y}/c&-E_{z}/c&0\end{matrix}}\right)

де $E_{x},E_{y},E_{z}$ і $B_{x},B_{y},B_{z}$ компоненти електричного та магнітного полів, виміряні у спокої в наших координатах інерційним спостерігачем. У релятивістській фізиці зручно працювати з геометризованими одиницями, в яких $c=1$ . У теорії відносності метрика Мінковського $\eta$ використовується для підвищення та зниження індексів.

Інваріанти

Основні інваріанти електромагнітного поля зазначені нижче:

P\equiv {\frac {1}{2}}F_{ab}\,F^{ab}=\|{\vec {B}}\|^{2}-{\frac {\|{\vec {E}}\|^{2}}{c^{2}}}=-{\frac {1}{2}}{}^{*}F_{ab}\,{}^{*}F^{ab}

Q\equiv {\frac {1}{4}}F_{ab}\,{}^{*}F^{ab}={\frac {1}{8}}\epsilon ^{abcd}F_{ab}F_{cd}={\frac {{\vec {E}}\cdot {\vec {B}}}{c}}

.

(Основні тому, що кожен інший інваріант можна виразити через ці два. )

Нульове електромагнітне поле характеризується $P=Q=0$ . При цьому електричне та магнітне поля перпендикулярні і мають однакову величину (в геометризованих одиницях). Прикладом нульового поля є плоска електромагнітна хвиля в просторі Мінковського.

Ненульове електромагнітне поле характеризується $P^{2}+Q^{2}\neq \,0$ . У випадку $P\neq 0=Q$ , існує інерційна система відліку в якій електричне або магнітне поле зникає. Їх називають відповідно магнітостатичне або електростатичне поле. Якщо $Q\neq 0$ , існує інерційна система, в якій магнітне та електричне поля пропорційні.

Вигнуті лоренцеві різновиди

Згадані ситуації стосуються лише простір-часу Мінковського. Якщо ми замінимо "інерційний кадр" вище на поле кадру, на вигнутих колекторах все працює точно так же.

Див. також

Теорема про електромагнітний пілінг
Електровакуумний розчин
Група Лоренца
Класифікація Петрова

Примітки

↑ The rank given here corresponds to that as a linear operator or tensor; the rank as defined for a k-vector is half that given here.

Список літератури

Landau, Lev D.; Lifshitz, E. M. (1973). The Classical Theory of Fields. New York: Pergamon. ISBN 0-08-025072-6.Landau, Lev D.; Lifshitz, E. M. (1973). The Classical Theory of Fields. New York: Pergamon. ISBN 0-08-025072-6. Landau, Lev D.; Lifshitz, E. M. (1973). The Classical Theory of Fields. New York: Pergamon. ISBN 0-08-025072-6.

[1] The rank given here corresponds to that as a linear operator or tensor; the rank as defined for a k-vector is half that given here.

[1]