Комплекснозначна функція

Комплекснозначна функція
Формула	$f\colon X\to \mathbb {C}$
Кодомен	множина комплексних чиселd
Підтримується Вікіпроєктом	Вікіпедія:Проєкт:Математика
Протилежне	дійснозначна функція і комплекснозначна зміннаd

Комплекснозначна функція в теорії функцій дійсної змінної — функція, що набуває комплексних значень: $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {C}$.

Таку функцію можна подати у вигляді:

$f(x)=u(x)+iv(x)$,

де $u(x)$ і $v(x)$ — дійсні функції. У цьому випадку функцію $u(x)$ називають дійсною частиною функції $f(x)$, а $v(x)$ — її уявною частиною. У зв'язку з таким розкладом, на комплекснозначні функції природно переносяться всі поняття, що вводяться для дійснозначних функцій, зокрема, комплекснозначна функція вважається неперервною (диференційовною, аналітичною, вимірною, гармонійною), якщо її дійсна і уявна частини є неперервними (диференційовними, аналітичними, вимірними, гармонійними) функціями. Інтеграл комплекснозначної функції $f(x)=u(x)+iv(x)$ визначається так:

$\int \limits _{a}^{b}f(x)=\int \limits _{a}^{b}u(x)dx+i\int \limits _{a}^{b}v(x)dx$ .

Однак не всі властивості, виконані для дійсної й уявної частини одночасно, можна поширити на комплекснозначні функції. Зокрема, для комплекснозначних функцій у загальному випадку не діє теорема Ролля, наприклад, похідна комплекснозначної функції дійсного аргументу:

$\sigma (x)=e^{ix}$

на інтервалі $[0,2\pi ]$ не перетворюється на нуль, хоча в кінцевих точках відрізка значення функції рівні $(\sigma (0)=\sigma (2\pi )=1)$.

Література

• Титчмарш Е. Теория функций. — 2-е изд., перераб. — М. : Наука, 1980. — 464 с.