Користувач:Галактион/Аксіома вибору

Подстраница "Користувач:Галактион/Аксіома вибору" создана для того, чтобы перенести информацию из раздела "Обговорення" статьи "Аксіома вибору". Галактион 06:34, 5 березня 2010 (UTC)

Дополнение к статье "Аксiома вибору"

Аксиома выбора формулируется на языке сообщества математиков так:

$~\mathbb {X} \neq \varnothing \ \land \ \forall _{X\ \in \ \mathbb {X} }\ (X\neq \varnothing )\ \land \ \forall _{\{X,Y\}\ \subseteq \ \mathbb {X} \ \land \ X\ \neq \ Y}\ (X\ \cap \ Y=\varnothing )\Rightarrow \exists Z\ \forall _{X\ \in \ \mathbb {X} }\ (\exists ^{\{1\}}z\ (z\in X\ \cap \ Z))$

Примечания

$~\mathbb {X} \neq \varnothing \ \Leftrightarrow \ \exists X\ (X\in \mathbb {X} )$

Семейство множеств $~\mathbb {X}$ не пусто.

$~\forall _{X\ \in \ \mathbb {X} }\ (X\neq \varnothing )\ \Leftrightarrow \ \forall X\ (X\in \mathbb {X} \to X\neq \varnothing )\ \Leftrightarrow \ \forall X\ (X\in \mathbb {X} \to \exists x\ (x\in X))$

Каждое множество $~X$ семейства $~\mathbb {X}$ не пусто. Иначе говоря, в каждом множестве $~X$ семейства $~\mathbb {X}$ есть хотя бы один элемент $~x$.

$~\forall _{\{X,Y\}\ \subseteq \ \mathbb {X} \ \land \ X\ \neq \ Y}\ (X\ \cap \ Y=\varnothing )\ \Leftrightarrow \ \forall X\forall Y\ (X\in \mathbb {X} \ \land \ Y\in \mathbb {X} \ \land \ X\neq Y\to X\ \cap \ Y=\varnothing )$

Каждые два [разных] множества $~X$ и $~Y$ семейства $~\mathbb {X}$ не пересекаются.

$~\exists Z\forall _{X\ \in \ \mathbb {X} }\ (\exists ^{\{1\}}z\ (z\in X\cap Z))\ \Leftrightarrow \ \exists Z\forall X\ (X\in \mathbb {X} \to \exists ^{\{1\}}z\ (z\in X\cap Z))$

$~\exists ^{\{1\}}z\ (z\in X\cap Y)\quad \Leftrightarrow \quad \exists z\ (\{z\}=X\cap Y)$

Галактион 09:28, 26 серпня 2009 (UTC)