Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Подстраница "Користувач:Галактион/Аксіома паралельності Евкліда" создана для того, чтобы перенести информацию из раздела "Обговорення" статьи "Аксіома паралельності Евкліда ". Галактион 18:14, 5 березня 2010 (UTC)
Известны три классические геометрии, а именно геометрия Евклида (Евклидова геометрия), геометрия Лобачевского и геометрия Римана.
В геометрии Евклида есть следующая аксиома
a
⊢
L
i
n
e
⊆
P
l
a
n
e
∧
p
o
i
n
t
∈
P
l
a
n
e
∖
L
i
n
e
→
∃
{
1
}
L
i
n
e
′
(
p
o
i
n
t
∈
L
i
n
e
′
∧
L
i
n
e
′
⊆
P
l
a
n
e
∧
L
i
n
e
∩
L
i
n
e
′
=
∅
)
{\displaystyle ~a\vdash \ L_{ine}\subseteq P_{lane}\ \land \ p_{oint}\in P_{lane}\setminus L_{ine}\to \exists ^{\{1\}}L_{ine}'\ (p_{oint}\in L_{ine}'\ \land \ L_{ine}'\subseteq P_{lane}\ \land \ L_{ine}\cap L_{ine}'=\varnothing )}
a
⊢
L
i
n
e
⊆
P
l
a
n
e
∧
p
o
i
n
t
∈
P
l
a
n
e
∖
L
i
n
e
→
∃
{
2
,
.
.
.
}
L
i
n
e
′
(
p
o
i
n
t
∈
L
i
n
e
′
∧
L
i
n
e
′
⊆
P
l
a
n
e
∧
L
i
n
e
∩
L
i
n
e
′
=
∅
)
{\displaystyle ~a\vdash \ L_{ine}\subseteq P_{lane}\ \land \ p_{oint}\in P_{lane}\setminus L_{ine}\to \exists ^{\{2,...\}}L_{ine}'\ (p_{oint}\in L_{ine}'\ \land \ L_{ine}'\subseteq P_{lane}\ \land \ L_{ine}\cap L_{ine}'=\varnothing )}
a
⊢
L
i
n
e
⊆
P
l
a
n
e
∧
p
o
i
n
t
∈
P
l
a
n
e
∖
L
i
n
e
→
∃
{
0
}
L
i
n
e
′
(
p
o
i
n
t
∈
L
i
n
e
′
∧
L
i
n
e
′
⊆
P
l
a
n
e
∧
L
i
n
e
∩
L
i
n
e
′
=
∅
)
{\displaystyle ~a\vdash \ L_{ine}\subseteq P_{lane}\ \land \ p_{oint}\in P_{lane}\setminus L_{ine}\to \exists ^{\{0\}}L_{ine}'\ (p_{oint}\in L_{ine}'\ \land \ L_{ine}'\subseteq P_{lane}\ \land \ L_{ine}\cap L_{ine}'=\varnothing )}
d
⊢
L
i
n
e
∥
L
i
n
e
′
↔
L
i
n
e
⊆
P
l
a
n
e
∧
L
i
n
e
′
⊆
P
l
a
n
e
∧
L
i
n
e
∩
L
i
n
e
′
=
∅
{\displaystyle ~d\vdash \quad L_{ine}\parallel L_{ine}'\ \leftrightarrow \ L_{ine}\subseteq P_{lane}\ \land \ L_{ine}'\subseteq P_{lane}\ \land \ L_{ine}\cap L_{ine}'=\varnothing }
тогда:
1) вышеуказанную аксиому геометрии Евклида можно записать так:
a
⊢
L
i
n
e
⊆
P
l
a
n
e
∧
p
o
i
n
t
∈
P
l
a
n
e
∖
L
i
n
e
→
∃
{
1
}
L
i
n
e
′
(
p
o
i
n
t
∈
L
i
n
e
′
∧
L
i
n
e
∥
L
i
n
e
′
)
{\displaystyle ~a\vdash L_{ine}\subseteq P_{lane}\ \land \ p_{oint}\in P_{lane}\setminus L_{ine}\to \exists ^{\{1\}}L_{ine}'\ (p_{oint}\in L_{ine}'\ \land \ L_{ine}\parallel L_{ine}')}
2) вышеуказанную аксиому геометрии Лобачевского можно записать так:
a
⊢
L
i
n
e
⊆
P
l
a
n
e
∧
p
o
i
n
t
∈
P
l
a
n
e
∖
L
i
n
e
→
∃
{
2
,
.
.
.
}
L
i
n
e
′
(
p
o
i
n
t
∈
L
i
n
e
′
∧
L
i
n
e
∥
L
i
n
e
′
)
{\displaystyle ~a\vdash L_{ine}\subseteq P_{lane}\ \land \ p_{oint}\in P_{lane}\setminus L_{ine}\to \exists ^{\{2,...\}}L_{ine}'\ (p_{oint}\in L_{ine}'\ \land \ L_{ine}\parallel L_{ine}')}
3) вышеуказанную аксиому геометрии Римана можно записать так:
a
⊢
L
i
n
e
⊆
P
l
a
n
e
∧
p
o
i
n
t
∈
P
l
a
n
e
∖
L
i
n
e
→
∃
{
0
}
L
i
n
e
′
(
p
o
i
n
t
∈
L
i
n
e
′
∧
L
i
n
e
∥
L
i
n
e
′
)
{\displaystyle ~a\vdash L_{ine}\subseteq P_{lane}\ \land \ p_{oint}\in P_{lane}\setminus L_{ine}\to \exists ^{\{0\}}L_{ine}'\ (p_{oint}\in L_{ine}'\ \land \ L_{ine}\parallel L_{ine}')}
Галактион 02:32, 13 серпня 2009 (UTC)
