Користувач:Галактион/Екстремум

Подстраница "Користувач:Галактион/Екстремум" создана для того, чтобі перенести информацию из раздела "Обговорення" статьи "Екстремум". Галактион 11:26, 6 березня 2010 (UTC)

Дополнение к статье "Экстремум"

$~d\vdash \ \mathbb {X} \times \mathbb {Y} \subseteq \mathbb {R} ^{2}\ \ \land \ \ \mathrm {f} :\mathbb {X} \mapsto \mathbb {Y} \quad \land \quad v\in \mathbb {X} \ \ \land \ \ \exists _{\{u,w\}\ \subseteq \ \mathbb {X} \ \land \ u\ <\ w}\ (u<v<w)\quad \to$

$~(\mathrm {f\ has\ a\ local\ maximum\ at} \ v.\leftrightarrow \exists _{\delta \ \in \ (0,\infty )}\ (\ (v-\delta ,v+\delta )\subseteq \mathbb {X} \ \land \ \forall _{x\ \in \ (v-\delta ,\ v+\delta )\setminus \{v\}}\ (f(x)\leq f(v))\ ))$

$~\land$

$~(\mathrm {f\ has\ a\ local\ minimun\ at} \ v.\leftrightarrow \exists _{\delta \ \in \ (0,\infty )}\ (\ (v-\delta ,v+\delta )\subseteq \mathbb {X} \ \land \ \forall _{x\ \in \ (v-\delta ,\ v+\delta )\setminus \{v\}}\ (f(v)\leq f(x))\ ))$

$~\land$

$~(\mathrm {f\ has\ a\ local\ extremum\ at} \ v.\ \leftrightarrow \ \exists _{\delta \ \in \ (0,\infty )}\ (\ (v-\delta ,v+\delta )\subseteq \mathbb {X} \ \land$

$~(\forall _{x\ \in \ (v-\delta ,\ v+\delta )\setminus \{v\}}\ (f(x)\leq f(v))\quad \lor \quad \forall _{x\ \in \ (v-\delta ,\ v+\delta )\setminus \{v\}}\ (f(v)\leq f(x))\ )\ ))$

$~\land$

${\begin{aligned}(\mathrm {f\ has\ a\ strict\ local\ maximum\ at} \ v.\ \leftrightarrow \ \exists _{\delta \ \in \ (0,\infty )}\ (\ (v-\delta ,v+\delta )\subseteq \mathbb {X} \quad \land \\\ \forall _{x\ \in \ (v-\delta ,\ v+\delta )\setminus \{v\}}\ (f(x)<f(v))\ ))\end{aligned}}$

$~\land$

${\begin{aligned}(\mathrm {f\ has\ a\ strict\ local\ minimun\ at} \ v.\ \leftrightarrow \ \exists _{\delta \ \in \ (0,\infty )}\ (\ (v-\delta ,v+\delta )\subseteq \mathbb {X} \quad \land \\\ \forall _{x\ \in \ (v-\delta ,\ v+\delta )\setminus \{v\}}\ (f(v)<f(x))\ ))\end{aligned}}$

$~\land$

$~(\mathrm {f\ has\ a\ strict\ local\ extremum\ at} \ v.\ \leftrightarrow \ \exists _{\delta \ \in \ (0,\infty )}\ (\ (v-\delta ,v+\delta )\subseteq \mathbb {X} \quad \land$

$~(\forall _{x\ \in \ (v-\delta ,\ v+\delta )\setminus \{v\}}\ (f(x)<f(v))\quad \lor \quad \forall _{x\ \in \ (v-\delta ,\ v+\delta )\setminus \{v\}}\ (f(v)<f(x))\ )))$

Примечание

1. $~(v-\delta ,v+\delta )=\{x|\ \ x\in \mathbb {R} \ \land \ v-\delta <x<v+\delta \}=\{x|\ \ x\in \mathbb {R} \ \land \ |v-x|<\delta \}$

2. $~(v-\delta ,v+\delta )\setminus \{v\}=(v-\delta ,v)\cup (v,v+\delta )=\{x|\ \ x\in \mathbb {R} \ \land \ 0<|v-x|<\delta \}$

Галактион 20:20, 14 серпня 2009 (UTC)