Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Подстраница "Користувач Галактион/Зліченна множина" создана для того, чтобы перенести информацию из раздела "Обговорення" статьи "Зліченна множина ". Галактион 09:31, 5 березня 2010 (UTC)
Примечание к статье "Злiченна множина"
⊢
X
i
s
a
c
o
u
n
t
a
b
l
e
s
e
t
.
↔
|
X
|
=
ℵ
0
{\displaystyle ~\vdash \ X\ \mathrm {is\ a\ countable\ set} .\ \leftrightarrow \ |X|=\aleph _{0}}
⊢
X
i
s
a
c
o
u
n
t
a
b
l
e
s
e
t
.
↔
|
X
|
=
|
N
|
{\displaystyle ~\vdash \ X\ \mathrm {is\ a\ countable\ set} .\ \leftrightarrow \ |X|=|\mathbb {N} |}
⊢
X
i
s
a
c
o
u
n
t
a
b
l
e
s
e
t
.
↔
∃
f
(
B
i
j
(
f
:
X
↦
N
)
)
{\displaystyle ~\vdash \ X\ \mathrm {is\ a\ countable\ set} .\ \leftrightarrow \ \exists \mathrm {f\ (Bij(f} :X\mapsto \mathbb {N} ))}
Примечание
⊢
B
i
j
(
f
:
X
↦
N
)
↔
f
:
X
↦
N
∧
∀
n
(
n
∈
N
→
∃
{
1
}
x
(
⟨
x
,
n
⟩
∈
f
)
)
{\displaystyle ~\vdash \quad \mathrm {Bij(f} :X\mapsto \mathbb {N} )\quad \leftrightarrow \quad \mathrm {f} :X\mapsto \mathbb {N} \quad \land \quad \forall n\ (n\in \mathbb {N} \ \to \ \exists ^{\{1\}}x\ (\langle x,n\rangle \in \mathrm {f} ))}
⊢
f
:
X
↦
N
↔
f
⊆
X
×
N
∧
f
≠
∅
∧
∀
x
(
x
∈
X
→
∃
{
1
}
n
(
⟨
x
,
n
⟩
∈
f
)
)
{\displaystyle ~\vdash \quad \mathrm {f} :X\mapsto \mathbb {N} \quad \leftrightarrow \quad \mathrm {f} \subseteq X\ \times \ \mathbb {N} \quad \land \quad \mathrm {f} \neq \varnothing \quad \land \quad \forall x\ (x\in X\ \to \ \exists ^{\{1\}}n\ (\langle x,n\rangle \in \mathrm {f} ))}
Theorems
t
⊢
|
X
|
=
ℵ
0
→
∀
A
⊆
X
(
|
A
|
<
ℵ
0
⊻
|
A
|
=
ℵ
0
)
{\displaystyle ~t\vdash \quad |X|=\aleph _{0}\ \to \ \forall _{A\ \subseteq \ X}\ (|A|<\aleph _{0}\ \veebar \ |A|=\aleph _{0})}
t
⊢
Y
≠
∅
∧
(
|
Y
|
<
ℵ
0
∨
|
Y
|
=
ℵ
0
)
∧
∀
X
∈
Y
(
|
X
|
=
ℵ
0
)
→
|
∪
Y
|
=
ℵ
0
{\displaystyle ~t\vdash \quad Y\neq \varnothing \quad \land \quad (|Y|<\aleph _{0}\ \lor \ |Y|=\aleph _{0})\quad \land \quad \forall _{X\ \in \ Y}\ (|X|=\aleph _{0})\quad \to \quad |\cup Y|=\aleph _{0}}
Примечание
⊢
∪
Y
=
{
x
|
∃
X
(
X
∈
Y
∧
x
∈
X
)
}
{\displaystyle ~\vdash \quad \cup Y=\{x|\ \ \exists X\ (X\in Y\ \land \ x\in X)\}}
t
⊢
|
X
|
=
ℵ
0
→
∀
n
∈
N
∧
n
>
1
(
|
X
n
|
=
ℵ
0
)
{\displaystyle ~t\vdash \quad |X|=\aleph _{0}\ \to \ \forall _{n\ \in \ \mathbb {N} \ \land \ n\ >\ 1}\ (|X^{n}|=\aleph _{0})}
t
⊢
|
X
|
=
ℵ
0
∧
Z
=
{
Y
|
Y
⊆
X
∧
|
Y
|
<
ℵ
0
}
→
|
Z
|
=
ℵ
0
{\displaystyle ~t\vdash \quad |X|=\aleph _{0}\ \land \ Z=\{Y|\ \ Y\subseteq X\ \land \ |Y|<\aleph _{0}\}\ \to \ |Z|=\aleph _{0}}
t
⊢
|
X
|
=
ℵ
0
∧
Z
=
{
Y
|
Y
⊆
X
}
→
|
Z
|
>
ℵ
0
{\displaystyle ~t\vdash \quad |X|=\aleph _{0}\ \land \ Z=\{Y|\ \ Y\subseteq X\}\ \to \ |Z|>\aleph _{0}}
Галактион 07:59, 12 серпня 2009 (UTC)