Користувач:Галактион/Квадратне рівняння

Подстраница "Користувач:Галактион/Квадратне рівняння" создана для того, чтобы перенести информацию из раздела "Обговорення" статьи "Квадратне рівняння". Галактион 18:02, 5 березня 2010 (UTC)

Вот что должен знать абитуриент о квадратном уравнении

Первая формула

$~\vdash \quad a\in \mathbb {R} \ \land \ b\in \mathbb {R} \ \land \ c\in \mathbb {R} \ \land \ a\neq 0\ \land \ D=b^{2}-4ac\quad \to$

$~(D<0\quad \to \quad (x\in \mathbb {R} \ \land \ ax^{2}+bx+c=0\quad \leftrightarrow \quad x\in \varnothing ))\quad \land$

$~(D=0\quad \to \quad (x\in \mathbb {R} \ \land \ ax^{2}+bx+c=0\quad \leftrightarrow \quad x\in \{{\frac {-b}{2a}}\}))\quad \land$

$~(D>0\quad \to \quad (x\in \mathbb {R} \ \ \land \ \ ax^{2}\ +\ bx\ +\ c=0\quad \leftrightarrow \quad x\in \{{\frac {-b-{\sqrt {D}}}{2a}},\quad {\frac {-b+{\sqrt {D}}}{2a}}\}))$

Примечание

0. $~\vdash \quad a\in \mathbb {R} \ \land \ b\in \mathbb {R} \ \land \ c\in \mathbb {R} \quad \leftrightarrow \ \{a,b,c\}\subseteq \mathbb {R}$

1. $~\vdash \quad \{a,b,c\}\subseteq \mathbb {R} \ \land \ a\neq 0\ \land \ D=b^{2}-4ac\ \land \ D<0\quad \to$

$~(x\in \mathbb {C} \ \land \ ax^{2}+bx+c=0\quad \leftrightarrow \quad x\in \{{\frac {-b-{\sqrt {D}}}{2a}},\quad {\frac {-b+{\sqrt {D}}}{2a}}\}\ )$

2. $~\vdash \quad x\in \{{\frac {-b}{2a}}\}\quad \leftrightarrow \quad x={\frac {-b}{2a}}$

3. $~d\vdash \quad x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\quad \leftrightarrow \quad x\in \{{\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}},\quad {\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\}$

4. $~\vdash \quad x\in \{{\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}},\quad {\frac {-b+{\sqrt {-b-4ac}}}{2a}}\}\quad \leftrightarrow$

$~x={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\quad \lor \quad x={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

5. Руководствуясь предложениями (3) и (4), получаем

$~\vdash \quad x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\quad \leftrightarrow \quad x={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\quad \lor \quad x={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

Вторая формула

$~\vdash \quad \{a,b,c\}\subseteq \mathbb {R} \ \land \ a\neq 0\ \land \ D=b^{2}-4ac\quad \to$

$~(D<0\quad \to \quad \{x|\ x\in \mathbb {R} \ \land \ ax^{2}+bx+c=0\}=\varnothing )\quad \land$

$~(D=0\quad \to \quad \{x|\ x\in \mathbb {R} \ \land \ ax^{2}+bx+c=0\}=\{{\frac {-b}{2a}}\})\quad \land$

$~(D>0\quad \to \quad \{x|\ x\in \mathbb {R} \ \land \ ax^{2}+bx+c=0\}=\{{\frac {-b-{\sqrt {D}}}{2a}},\quad {\frac {-b+{\sqrt {D}}}{2a}}\})$

Примечание

$~\vdash \quad \{a,b,c\}\subseteq \mathbb {R} \ \land \ a\neq 0\ \land \ D=b^{2}-4ac\ \land \ D<0\quad \to$

$~\{x|\ x\in \mathbb {C} \ \land \ ax^{2}+bx+c=0\}=\{{\frac {-b-{\sqrt {D}}}{2a}},\quad {\frac {-b+{\sqrt {D}}}{2a}}\}$

Третья формула

$~\vdash \quad \{a,b,c\}\subseteq \mathbb {R} \ \land \ a\neq 0\ \land \ D=b^{2}-4ac\quad \to$

$~(D<0\ \to \ \exists ^{\{0\}}x\ \ \ (x\in \mathbb {R} \ \land \ ax^{2}+bx+c=0)\ )\quad \land$

$~(D\leq 0\ \to \ \exists ^{\{0,1\}}x\ (x\in \mathbb {R} \ \land \ ax^{2}+bx+c=0)\ )\quad \land$

$~(D=0\ \to \ \exists ^{\{1\}}x\ \ \ (x\in \mathbb {R} \ \land \ ax^{2}+bx+c=0)\ )\quad \land$

$~(D\geq 0\ \to \ \exists ^{\{1,2\}}x\ (x\in \mathbb {R} \ \land \ ax^{2}+bx+c=0)\ )\quad \land$

$~(D>0\ \to \ \exists ^{\{2\}}x\ \ \ (x\in \mathbb {R} \ \land \ ax^{2}+bx+c=0)\ )$

Примечание

$~\exists ^{\{0\}}x\ (x\in \mathbb {R} \ \land \ ax^{2}+bx+c=0)\ \Leftrightarrow \ \forall x\ (x\in \mathbb {R} \to ax^{2}+bx+c\neq 0)$

Четвёртая формула

$~\vdash \quad \{a,b,c\}\subseteq \mathbb {R} \ \land \ a\neq 0\ \land \ D=b^{2}-4ac\ \land \ v=\{x|\ x\in \mathbb {R} \ \land \ ax^{2}+bx+c=0\}\quad \to$

$~(D<0\ \to \ v\subseteq \varnothing )\quad \land$

$~(D\leq 0\ \to \ \exists u\ (v\subseteq \{u\})\ )\quad \land$

$~(D=0\ \to \ \exists u\ (v=\{u\})\ )\quad \land$

$~(D\geq 0\ \to \ \exists u\ (\{u\}\subseteq v)\quad \land \quad \exists u_{1}\exists u_{2}\ (u_{1}\neq u_{2}\ \land \ v\subseteq \{u_{1},u_{2}\})\ )\quad \land$

$~(D>0\ \to \ \exists u_{1}\exists u_{2}\ (u_{1}\neq u_{2}\ \land \ v=\{u_{1},u_{2}\})\ )$

Далее абитуриент должен знать следующее:

Первая формула

$~\vdash \quad \{a,b,c\}\subseteq \mathbb {R} \ \land \ a\neq 0\ \land \ D=b^{2}-4ac\ \land \ D<0\quad \to$

$~(a>0\ \to \ \forall x\ (x\in \mathbb {R} \to ax^{2}+bx+c>0)\ )\quad \land$

$~(a<0\ \to \ \forall x\ (x\in \mathbb {R} \to ax^{2}+bx+c<0)\ )$

Вторая формула

$~\vdash \quad \{a,b,c\}\subseteq \mathbb {R} \ \land \ a\neq 0\ \land \ D=b^{2}-4ac\ \land \ D=0\quad \to$

$~(a>0\ \to \ \forall x\ (x\in \mathbb {R} \setminus \{{\frac {-b}{2a}}\}\ \to \ ax^{2}+bx+c>0)\ )\quad \land$

$~(a<0\ \to \ \forall x\ (x\in \mathbb {R} \setminus \{{\frac {-b}{2a}}\}\ \to \ ax^{2}+bx+c<0)$

Третья формула

$~\vdash \quad \{a,b,c\}\subseteq \mathbb {R} \ \land \ a\neq 0\ \land \ D=b^{2}-4ac\ \land \ D>0\quad \to$

$~(a>0\ \to \ \forall x\ (x\in \mathbb {R} \ \land \ (x<{\frac {-b-{\sqrt {D}}}{2a}}\quad \lor \quad x>{\frac {-b+{\sqrt {D}}}{2a}})\ \to \ ax^{2}+bx+c>0)\ )\quad \land$

$~(a>0\ \to \ \forall x\ (x\in \mathbb {R} \ \land \ {\frac {-b-{\sqrt {D}}}{2a}}<x\ \land \ x<{\frac {-b+{\sqrt {D}}}{2a}}\ \to \ ax^{2}+bx+c<0)\ )\quad \land$

$~(a<0\ \to \ \forall x\ (x\in \mathbb {R} \ \land \ (x<{\frac {-b-{\sqrt {D}}}{2a}}\quad \lor \quad x>{\frac {-b+{\sqrt {D}}}{2a}})\ \to \ ax^{2}+bx+c<0)\ )\quad \land$

$~(a<0\ \to \ \forall x\ (x\in \mathbb {R} \ \land \ {\frac {-b-{\sqrt {D}}}{2a}}<x\ \land \ x<{\frac {-b+{\sqrt {D}}}{2a}}\ \to \ ax^{2}+bx+c>0)\ )$

Кроме того, абитуриент должен знать следующее

Первая формула

$~\vdash \quad \{a,b,c\}\subseteq \mathbb {R} \ \land \ a\neq 0\ \land \ f(u)=au^{2}+bu+c\quad \to$

$~(a>0\ \to \ \forall x\ (x\in \mathbb {R} \setminus \{{\frac {-b}{2a}}\}\ \to \ f({\frac {-b}{2a}})<f(x)\ ))\quad \land$

$~(a<0\ \to \ \forall x\ (x\in \mathbb {R} \setminus \{{\frac {-b}{2a}}\}\ \to \ f({\frac {-b}{2a}})>f(x)\ ))$

Вторая формула

$~\vdash \quad \{a,b,c\}\subseteq \mathbb {R} \ \land \ a\neq 0\ \land \ f(u)=au^{2}+bu+c\quad \to$

$~(a>0\to \forall x_{1}\forall x_{2}\ (\{x_{1},x_{2}\}\subseteq \{x|\ x\in \mathbb {R} \ \land \ x\leq {\frac {-b}{2a}}\}\ \land \ x_{1}<x_{2}\to f(x_{1})>f(x_{2})\ ))\ \land$

$~(a>0\to \forall x_{1}\forall x_{2}\ (\{x_{1},x_{2}\}\subseteq \{x|\ x\in \mathbb {R} \ \land \ x\geq {\frac {-b}{2a}}\}\ \land \ x_{1}<x_{2}\to f(x_{1})<f(x_{2})\ ))\ \land$

$~(a<0\to \forall x_{1}\forall x_{2}\ (\{x_{1},x_{2}\}\subseteq \{x|\ x\in \mathbb {R} \ \land \ x\leq {\frac {-b}{2a}}\}\ \land \ x_{1}<x_{2}\to f(x_{1})<f(x_{2})\ ))\ \land$

$~(a<0\to \forall x_{1}\forall x_{2}\ (\{x_{1},x_{2}\}\subseteq \{x|\ x\in \mathbb {R} \ \land \ x\geq {\frac {-b}{2a}}\}\ \land \ x_{1}<x_{2}\to f(x_{1})>f(x_{2})\ ))$

Третья формула

$~\vdash \quad \{a,b,c\}\subseteq \mathbb {R} \ \land \ a\neq 0\ \land \ f(u)=au^{2}+bu+c\quad \to$

$~(a>0\ \to \ \forall x_{1}\forall x_{2}\ (\{x_{1},x_{2}\}\subseteq \mathbb {R} \ \land \ x_{1}\neq \ x_{2}\ \to \ f({\frac {x_{1}+x_{2}}{2}})<{\frac {f(x_{1})+f(x_{2})}{2}}))\quad \land$

$~(a<0\ \to \ \forall x_{1}\forall x_{2}\ (\{x_{1},x_{2}\}\subseteq \mathbb {R} \ \land \ x_{1}\neq x_{2}\ \to \ f({\frac {x_{1}+x_{2}}{2}})>{\frac {f(x_{1})+f(x_{2})}{2}}))$

--Галактион 14:43, 17 травня 2009 (UTC)

А чому у вас тільки дійсні коефіцієнти? --Олюсь 18:54, 17 травня 2009 (UTC)

Я предположил, что в Украинских школах рассматриваются квадратные уравнения с вещественными коэффициентами. Если я ошибся, тогда добавьте, пожалуйста, сведения о решениях квадратного уравнения с комплексными коэффициетами. --Галактион 21:05, 17 травня 2009 (UTC)