Користувач:Галактион/Натуральне число

Подстраница "Користувач:Галактион/Натуральні числа" создана для того, чтобы перенести информацию из раздела "Обговорення" статьи "Натуральне число". Галактион 20:43, 4 березня 2010 (UTC)

Аксиомы Пеано

$a\vdash \quad 0\in \mathbb {N}$

Прмечание

Это предложение гарантирует, что множество $~\mathbb {N}$ не пусто, так как $~0\in \mathbb {N} \Rightarrow \exists i\ (i\in \mathbb {N} )\Leftrightarrow \mathbb {N} \neq \varnothing$

$~a\vdash \quad i\in \mathbb {N} \to \exists j\ (j\in \mathbb {N} \ \land \ j=f(i)\ )$,

что равносильно

$~\vdash \quad \forall i\ (i\in \mathbb {N} \ \to \ \exists j\ (j\in \mathbb {N} \ \land \ j=f(i)\ ))$

Примечание

Последнее предложение можно переписать в следующем виде

$~\vdash \quad \forall i\ (i\in \mathbb {N} \ \to \ f(i)\in \mathbb {N} )$

Это предложение означает, что существует функция $~\mathrm {f} :\mathbb {N} \mapsto \mathbb {N}$

$~a\vdash \quad i_{1}\in \mathbb {N} \ \land \ i_{2}\in \mathbb {N} \to \ (i_{1}\neq i_{2}\to f(i_{1})\neq f(i_{2})\ )$,

что равносильно

$~\vdash \quad \forall i_{1}\forall i_{2}\ (i_{1}\in \mathbb {N} \ \land \ i_{2}\in \mathbb {N} \ \to \ (\ f(i_{1})=f(i_{2})\ \to \ i_{1}=i_{2})\ )$

Примечание

Это предложение означает, что функция $~\mathrm {f} :\mathbb {N} \mapsto \mathbb {N}$ - инъективна.

$~a\vdash \quad i\in \mathbb {N} \to f(i)\neq 0$

что равносильно

$~\vdash \quad \forall i\ (i\in \mathbb {N} \ \to \ f(i)\neq 0\ )$

Примечание

Это предложение гарантирует, что инъективная функция $~\mathrm {f} :\mathbb {N} \mapsto \mathbb {N}$ монотонно возрастает, то есть

$~i_{1}\in \mathbb {N} \ \land \ i_{2}\in \mathbb {N} \ \to \ (i_{1}<i_{2}\ \to \ f(i_{1})<f(i_{2})\ )$

$~a\vdash \quad S_{0}\ \ \land \ \ \forall i\ (i\in \mathbb {N} \ \to \ (S_{i}\ \to \ S_{f(i)}))\quad \to \quad \forall n\ (n\in \mathbb {N} \to S_{n})$

Примечание

Это предложение называется аксиомой математической индукции.

Свойства множества натуральных чисел

Количество элементов

$~\vdash \quad \exists ^{\{2,...\}}x\ (x\in \mathbb {N} )$,

что равносильно

$~\vdash \quad \exists x\exists y\ (x\in \mathbb {N} \ \land \ y\in \mathbb {N} \ \land x\neq y)$

Порядок

$~\vdash \quad x\in \mathbb {N} \ \land \ y\in \mathbb {N} \ \to \ x\leq y\ \lor \ y\leq x$

$~\vdash \quad x\in \mathbb {N} \ \land \ y\in \mathbb {N} \ \land \ z\in \mathbb {N} \ \to \ (x\leq y\ \land \ y\leq z\ \to \ x\leq z)$

Сложение

$~\vdash \quad x\in \mathbb {N} \ \land \ y\in \mathbb {N} \ \to \ \exists z\ (z\in \mathbb {N} \ \land \ z=x+y)$

$~\vdash \quad x\in \mathbb {N} \ \land \ y\in \mathbb {N} \ \to \ x+y=y+x$

$~\vdash \quad x\in \mathbb {N} \ \land \ y\in \mathbb {N} \ \land \ z\in \mathbb {N} \ \to \ x+(y+z)=(x+y)+z$

$~\vdash \quad \exists x\ (x\in \mathbb {N} \ \land \ \forall y\ (y\in \mathbb {N} \ \to \ y+x=y))$

Умножение

$~\vdash \quad x\in \mathbb {N} \ \land \ y\in \mathbb {N} \ \to \ \exists z\ (z\in \mathbb {N} \ \land \ z=x\cdot y)$

$~\vdash \quad x\in \mathbb {N} \ \land \ y\in \mathbb {N} \ \to \ x\cdot y=y\cdot x$

$~\vdash \quad x\in \mathbb {N} \ \land \ y\in \mathbb {N} \ \land \ z\in \mathbb {N} \ \to \ x\cdot (y\cdot z)=(x\cdot y)\cdot z$

$~\vdash \quad \exists x\ (x\in \mathbb {N} \ \land \ x\neq 0\ \land \ \forall y\ (y\in \mathbb {N} \to y\cdot x=y))$

Связи

$~\vdash \quad x\in \mathbb {N} \ \land \ y\in \mathbb {N} \ \to \ (x\leq y\ \land \ y\leq x\ \to \ x=y)$

$~\vdash \quad x\in \mathbb {N} \ \land \ y\in \mathbb {N} \ \land \ z\in \mathbb {N} \ \to \ (x\leq y\ \to \ x+z\leq y+z)$

$~\vdash \quad x\in \mathbb {N} \ \land \ y\in \mathbb {N} \ \to \ (0\leq x\ \land \ 0\leq y\ \to \ 0\leq x\cdot y)$

$~\vdash \quad x\in \mathbb {N} \ \land \ y\in \mathbb {N} \ \land \ z\in \mathbb {N} \ \to \ x\cdot (y+z)=(x\cdot y)+(x\cdot z)$

--Галактион 22:59, 11 травня 2009 (UTC)