Користувач:Галактион/Неперервна функція

Подстраница "Користувач:Галактион/Неперервна функція" создана для того, чтобы перенести информацию из раздела "Обговорення" статьи "Неперервна функція". Галактион 14:16, 5 березня 2010 (UTC)

Дополнение к статье "Неперервна функцiя"

Нижеследующие определения написаны на языке сообщества математиков.

Определение непрерывности вещественной функции вещественного переменного в точке (по Коши)

$~d\vdash \ \mathrm {f} :\mathbb {X} \mapsto \mathbb {Y} \ \land \ \mathbb {X} \times \mathbb {Y} \subseteq \mathbb {R} ^{2}\ \land \ a\in \mathbb {X} \ \to \ (\mathrm {f} \in \mathrm {C_{ont}} (a)\ \leftrightarrow$

$~\forall \varepsilon \ (\varepsilon \in \mathbb {R} \ \land \ \varepsilon >0\to \exists \delta \ (\delta \in \mathbb {R} \ \land \ \delta >0\ \land \ \forall x\ (x\in \mathbb {X} \to (|x-a|<\delta \to |f(x)-f(a)|<\varepsilon ))))\ )$

Используя ограниченные кванторы, указанное определение можно записать короче, а именно

$~\mathrm {f} :\mathbb {X} \mapsto \mathbb {Y} \ \land \ \mathbb {X} \times \mathbb {Y} \subseteq \mathbb {R} ^{2}\ \land \ a\in \mathbb {X} \ \Rightarrow$

$~\mathrm {f} \in \mathrm {C_{ont}} (a)\quad \leftrightarrow \quad \forall _{\varepsilon \ \in \ (0,\infty )}\ \exists _{\delta \ \in \ (0,\infty )}\ \forall _{x\ \in \ \mathbb {X} }\ (|x-a|<\delta \to |f(x)-f(a)|<\varepsilon )$

Определение непрерывности вещественной функции вещественного переменного в точке (по Гейне)

$~d\vdash \ \mathrm {f} :\mathbb {X} \mapsto \mathbb {Y} \ \land \ \mathbb {X} \times \mathbb {Y} \subseteq \mathbb {R} ^{2}\ \land \ a\in \mathbb {X} \ \to \ (\mathrm {f} \in \mathrm {C_{ont}} (a)\ \leftrightarrow$

$~\forall \mathrm {b} \ (\mathrm {b} :\mathbb {N} \mapsto \mathbb {R} \quad \land \quad \forall n\ (n\in \mathbb {N} \to b_{n}\in \mathbb {X} )\quad \land \quad \lim _{n\to \infty }b_{n}=a\quad \to \quad \lim _{n\to \infty }f(b_{n})=f(a)\ ))$

Используя ограниченный квантор, указанное определение можно записать так:

$~\mathrm {f} :\mathbb {X} \mapsto \mathbb {Y} \ \land \ \mathbb {X} \times \mathbb {Y} \subseteq \mathbb {R} ^{2}\ \land \ a\in \mathbb {X} \ \Rightarrow$

$~\mathrm {f} \in \mathrm {C_{ont}} (a)\quad \leftrightarrow \quad \forall _{\mathrm {b} :\ \mathbb {N} \ \mapsto \ \mathbb {R} \ \land \ \forall n\ (n\ \in \ \mathbb {N} \ \to \ b_{n}\ \in \ \mathbb {X} )}\ (\lim _{n\to \infty }b_{n}=a\ \to \ \lim _{n\to \infty }f(b_{n})=f(a)\ )$

Определение непрерывности вещественной функции вещественного переменного на множестве точек

$~d\vdash \ \mathrm {f} :\mathbb {X} \mapsto \mathbb {Y} \ \land \ \mathbb {X} \times \mathbb {Y} \subseteq \mathbb {R} ^{2}\ \land \ A\subseteq \mathbb {X} \ \to \ (\mathrm {f} \in \mathrm {C_{ont}} (A)\ \leftrightarrow \ \forall a\ (a\in A\to \mathrm {f} \in \mathrm {C_{ont}} (a))\ )$

Используя ограниченные кванторы, указанное определение можно записать так:

$~\mathrm {f} :\mathbb {X} \mapsto \mathbb {Y} \ \land \ \mathbb {X} \times \mathbb {Y} \subseteq \mathbb {R} ^{2}\ \land \ A\subseteq \mathbb {X} \ \Rightarrow$

$~\mathrm {f} \in \mathrm {C_{ont}} (A)\ \leftrightarrow \ \forall _{a\ \in \ A}\ \forall _{\varepsilon \ \in \ (0,\infty )}\ \exists _{\delta \ \in \ (0,\infty )}\ \forall _{x\ \in \ \mathbb {X} }\ (|x-a|<\delta \to |f(x)-f(a)|<\varepsilon )$

Определение равномерной непрерывности вещественной функции вещественного переменного на множестве точек

$~d\vdash \ \mathrm {f} :\mathbb {X} \mapsto \mathbb {Y} \ \land \ \mathbb {X} \times \mathbb {Y} \subseteq \mathbb {R} ^{2}\ \land \ A\subseteq \mathbb {X} \ \to \ (\mathrm {f} \in \mathrm {C_{ont,u}} (A)\ \leftrightarrow$

$~\forall _{\varepsilon \ \in \ (0,\infty )}\ \exists _{\delta \ \in \ (0,\infty )}\ \forall _{\{a,x\}\ \subseteq \ A}\ (|x-a|<\delta \to |f(x)-(f(a)|<\varepsilon )$

Примечание

$~t\vdash \ \mathrm {f} :\mathbb {X} \mapsto \mathbb {Y} \ \land \ \mathbb {X} \times \mathbb {Y} \subseteq \mathbb {R} ^{2}\ \land \ A\subseteq \mathbb {X} \ \to \ (\mathrm {f} \in \mathrm {C_{ont,u}} (A)\ \to \ \mathrm {f} \in \mathrm {C_{ont}} (A)\ )$

Определение абсолютной непрерывности вещественной функции вещественного переменного на множестве точек

$~d\vdash \ \mathrm {f} :\mathbb {X} \mapsto \mathbb {Y} \ \land \ \mathbb {X} \times \mathbb {Y} \subseteq \mathbb {R} ^{2}\ \land \ A\subseteq \mathbb {X} \ \to \ (\mathrm {f} \in \mathrm {C_{ont,a}} (A)\ \leftrightarrow$

$~\forall _{\varepsilon \ \in \ (0,\infty )}\ \exists _{\delta \ \in \ (0,\infty )}\ \forall _{n\ \in \ \mathbb {N} }\ \forall _{\{x_{0},...,x_{n}\}\ \subseteq \ \mathbb {R} }\ \forall _{\{y_{0},...,y_{n}\}\ \subseteq \ \mathbb {R} }\quad (\forall _{i\ \in \ \{0,...n\}}\ (x_{i}<y_{i}\ \land \ (x_{i},y_{i})\subseteq A)\quad \land$

$~\forall _{\{i,j\}\ \subseteq \ \{0,...,n\}\ \land \ i\neq j}\ ((x_{i},y_{i})\ \cap \ (x_{j},y_{j})=\varnothing )\quad \land \quad \sum _{k=0}^{n}(y_{i}-x_{i})<\delta \ \to \ \sum _{k=0}^{n}|f(y_{i})-f(x_{i})|<\varepsilon )$

Примечание

$~(x_{i},y_{i})=\{z|\ \ z\in \mathbb {R} \ \land \ x_{i}<z<y_{i}\}$

Галактион 06:43, 29 травня 2009 (UTC)