Користувач:Галактион/Ознака Діріхле збіжності ряду

Подстраница "Користувач:Галактион/Ознака Діріхле збіжності ряду" создана для того, чтобі перенести информацию из раздела "Обговорення" статьи "Ознака Діріхле збіжності ряду". Галактион 20:09, 5 березня 2010 (UTC)

Дополнение к статье "Ознака Дiрiхле збiжностi ряду"

$~t\vdash \quad \mathrm {a} :\mathbb {N} \mapsto \mathbb {R} \quad \land \quad \lim _{n\to \infty }a_{n}=0\quad \land \quad \forall _{n\ \in \ \mathbb {N} }\ (a_{n}>0\ \land \ a_{n}\geq a_{n+1})\quad \land$

$~\mathrm {b} :\mathbb {N} \mapsto \mathbb {R} \quad \land \quad \exists _{M\ \in \ (0,\infty )}\ \forall _{n\ \in \ \mathbb {N} }\ (M\ \geq \ |\sum _{i=0}^{n}b_{i}|)\quad \to \quad (\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}b_{i})\in \mathbb {R}$

Примечание

$~\forall _{n\ \in \ \mathbb {N} }\ (a_{n}>0\ \land \ a_{n}\geq a_{n+1})\quad \Leftrightarrow \quad \forall n\ (n\in \mathbb {N} \ \to \ a_{n}>0\ \land \ a_{n}\geq a_{n+1})$

$~\exists _{M\ \in \ (0,\infty )}\ \forall _{n\ \in \ \mathbb {N} }\ (M\geq |\sum _{i=0}^{n}b_{i}|)\quad \Leftrightarrow \quad \exists M\ (M\in \mathbb {R} \ \land \ M>0\ \land \ \forall n\ (n\in \mathbb {N} \to M\geq |\sum _{i=0}^{n}b_{i}|\ ))$

Дополнение к разделу "Ознака Дiрiхле для невласного iнтегралу"

$~t\vdash \ X_{1}\times Y_{1}\subseteq \mathbb {R} ^{2}\ \ \land \ \ \mathrm {f} :X_{1}\mapsto Y_{1}\ \quad \land \quad X_{2}\times Y_{2}\subseteq \mathbb {R} ^{2}\ \ \land \ \ \mathrm {g} :X_{2}\mapsto Y_{2}\quad \land \quad [a,\infty )\subseteq X_{1}\cap X_{2}\quad \land$

$~\exists _{M\ \in \ (0,\infty )}\ \forall _{x\ \in \ (a,\infty )}\ (M\ \geq \ |\int \limits _{a}^{x}g(t)dt|)\quad \land \quad \mathrm {f} \in \mathrm {C_{ont}^{1}} ([a,\infty ))\quad \land \quad \lim _{x\to \infty }f(x)=0\quad \land$

$~(\forall _{x\ \in \ [a,\infty )}\ (f(x)>0\ \land \ f'(x)\leq 0)\ \lor \ \forall _{x\ \in \ [a,\infty )}\ (f(x)<0\ \land \ f'(x)\geq 0))\to (\int \limits _{a}^{\infty }f(x)g(x)dx)\in \mathbb {R}$

Галактион 17:27, 15 серпня 2009 (UTC)