Користувач:Галактион/Ознака збіжності д'Аламбера

Подстраница "Користувач:Галактион/Ознака збіжності д'Аламбера" создана для того, чтобы перенести иноформацию из раздела "Обговорення" статьи "Ознака збіжності д'Аламбера". Галактион 08:04, 6 березня 2010 (UTC)

Дополнение к статье "Ознака збiжностi Д'Аламбера"

$~t\vdash \quad \mathrm {a} :\mathbb {N} \mapsto \mathbb {R} \quad \land \quad \exists _{q\ \in \ (0,1)}\ \exists _{N\ \in \ \mathbb {N} }\ \forall _{n\ \in \ \mathbb {N} \ \land \ n\ >\ N}\ (|a_{n+1}|\ \leq \ q\cdot |a_{n}|)\quad \to \quad (\sum _{i=0}^{\infty }|a_{i}|)\in \mathbb {R}$

Примечание

$~(\sum _{i=0}^{\infty }|a_{i}|)\in \mathbb {R} \quad \Leftrightarrow \quad \exists L\ (L\in \mathbb {R} \ \land \ L=\sum _{i=0}^{\infty }|a_{i}|)$

$~t\vdash \quad \mathrm {a} :\mathbb {N} \mapsto \mathbb {R} \quad \land \quad \forall _{n\ \in \ \mathbb {N} }\ (a_{n}\neq 0)\quad \land \quad \lim _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|\in (0,1)\quad \to \quad (\sum _{i=0}^{\infty }|a_{i}|)\in \mathbb {R}$

Дополнение

Kummer's test

$~t\vdash \quad \mathrm {a} :\mathbb {N} \mapsto \mathbb {R} \quad \land \quad \forall _{n\ \in \ \mathbb {N} }\ (a_{n}>0)\quad \land \quad \forall _{L\ \in \ \mathbb {R} }\ (L\neq \sum _{i=0}^{\infty }a_{i})\quad \land \quad \mathrm {b} :\mathbb {N} \mapsto \mathbb {R} \quad \to$

$~(\exists _{q\ \in \ (0,\infty )}\ \exists _{N\ \in \ \mathbb {N} }\ \forall _{n\ \in \ \mathbb {N} }\ (n\geq N\ \to \ b_{n+1}\neq 0\ \ \land \ \ a_{n}\cdot {\frac {b_{n}}{b_{n+1}}}\ -\ a_{n+1}\geq q)\ \to \ \exists _{L\ \in \ \mathbb {R} }(L=\sum _{i=0}^{\infty }b_{i})\ )$

$~\land$

$~(\exists _{q\ \in \ (-\infty ,0]}\ \exists _{N\ \in \ \mathbb {N} }\ \forall _{n\ \in \ \mathbb {N} }\ (n\geq N\to \ b_{n+1}\neq 0\ \ \land \ \ a_{n}\cdot {\frac {b_{n}}{b_{n+1}}}\ -\ a_{n+1}\leq q)\to \ \forall _{L\ \in \ \mathbb {R} }(L\neq \sum _{i=0}^{\infty }b_{i})\ )$

Другая формулировка Kummer's test

$~t\vdash \quad \mathrm {a} :\mathbb {N} \mapsto \mathbb {R} \quad \land \quad \forall _{n\ \in \ \mathbb {N} }\ (a_{n}>0)\quad \land \quad \forall _{L\ \in \ \mathbb {R} }\ (L\neq \sum _{i=0}^{\infty }a_{i})\quad \land \quad \mathrm {b} :\mathbb {N} \mapsto \mathbb {R} \quad \to$

$~(\exists _{q\ \in \ (0,\infty )}\ (q=\lim _{n\to \infty }(a_{n}{\frac {b_{n}}{b_{n+1}}}\ -\ a_{n+1}))\ \to \ \exists _{L\ \in \ \mathbb {R} }\ (L=\sum _{i=0}^{\infty }b_{i}))\quad \land$

$~(\exists _{q\ \in \ (-\infty ,0)}\ (q=\lim _{n\to \infty }(a_{n}{\frac {b_{n}}{b_{n+1}}}\ -\ a_{n+1}))\ \to \ \forall _{L\ \in \ \mathbb {R} }\ (L\neq \sum _{i=0}^{\infty }b_{i}))$

Raabe's test

$~t\vdash \quad \mathrm {b} :\mathbb {N} \mapsto \mathbb {R} \quad \to$

$~(\exists _{q\ \in \ (1,\infty )}\ \exists _{N\ \in \ \mathbb {N} }\ \forall _{n\ \in \ \mathbb {N} }\ (n\geq N\ \to \ b_{n+1}\neq 0\ \land \ n\cdot ({\frac {b_{n}}{b_{n+1}}}\ -\ 1)\geq q)\quad \to \quad \exists _{L\ \in \ \mathbb {R} }\ (L=\sum _{i=1}^{\infty }b_{i}))$

$~\land$

$~(\exists _{q\ \in \ (-\infty ,1]}\ \exists _{N\ \in \ \mathbb {N} }\ \forall _{n\ \in \ \mathbb {N} }\ (n\geq N\ \to \ b_{n+1}\neq 0\ \land \ n\cdot ({\frac {b_{n}}{b_{n+1}}}\ -\ 1)\leq q)\quad \to \quad \forall _{L\ \in \ \mathbb {R} }\ (L\neq \sum _{i=1}^{\infty }b_{i}))$

Другая формулировка Raabe's test

$~t\vdash \quad \mathrm {b} :\mathbb {N} \mapsto \mathbb {R} \quad \to$

$~(\exists _{q\ \in \ (1,\infty )}\ (q=\lim _{n\to \infty }n({\frac {b_{n}}{b_{n+1}}}-1))\ \to \ \exists _{L\ \in \ \mathbb {R} }\ (L=\sum _{i=1}^{\infty }b_{i}))\quad \land$

$~(\exists _{q\ \in \ (-\infty ,1)}\ (q=\lim _{n\to \infty }n({\frac {b_{n}}{b_{n+1}}}-1))\ \to \ \forall _{L\ \in \ \mathbb {R} }\ (L\neq \sum _{i=1}^{\infty }b_{i}))$

Галактион 21:07, 15 серпня 2009 (UTC)