Користувач:Галактион/Перша теорема Вейєрштрасса

Подстраница "Користувач:Галактион/Перша теорема Вейєрштрасса" создана для того, чтобы перенести информацию из раздела "Обговорення" статьи "Перша теорема Вейєрштрасса". Галактион 04:04, 5 березня 2010 (UTC)

Дополнение к статье "Перша теорема Вейєрштрасса"

Первая теорма Вейерштрасса формулируется на языке сообщества математиков так:

${\begin{aligned}t\vdash \quad \mathbb {X} \times \mathbb {Y} \subseteq \mathbb {R} ^{2}\quad \land \quad \mathrm {f} :\mathbb {X} \mapsto \mathbb {Y} \quad \land \quad \{a,b\}\subseteq \mathbb {R} \quad \land \quad a<b\quad \land \quad [a,b]\subseteq \mathbb {X} \\\ \land \quad \mathrm {f} \in \mathrm {C_{ont}} ([a,b])\quad \to \quad \exists _{\{m,M\}\ \subseteq \ \mathbb {R} \ \land \ m\ \leq \ M}\ \forall _{x\ \in \ [a,b]}\ (m\leq f(x)\leq M)\end{aligned}}$

Примечание

$~\mathrm {f} :\mathbb {X} \mapsto \mathbb {Y} \ \Leftrightarrow \ \mathrm {f} =\{\langle x,y\rangle |\quad \langle x,y\rangle \in \mathbb {X} \times \mathbb {Y} \ \ \land \ \ y=f(x)\}$

$~\{a,b\}\subseteq \mathbb {R} \ \Leftrightarrow \ \forall x\ (x\in \{a,b\}\to x\in \mathbb {R} )\ \Leftrightarrow \ a\in \mathbb {R} \ \land \ b\in \mathbb {R}$

$~\vdash \ [a,b]=\{x|\quad x\in \mathbb {R} \ \land \ a\leq x\leq b\}$

$~\vdash \ (a,b)=\{x|\quad x\in \mathbb {R} \ \land \ a<x<b\}$

$~\mathrm {f} \in \mathrm {C_{ont}} ([a,b])\ \Leftrightarrow \ \lim _{t\to a^{+}}f(t)=f(a)\quad \land \quad \forall _{x\ \in \ (a,b)}\ (\lim _{t\to x}f(t)=f(x))\quad \land \quad \lim _{t\to b^{-}}f(t)=f(b)$

$~\exists _{\{m,M\}\ \subseteq \ \mathbb {R} \ \land \ m\ \leq \ M}\ \forall _{x\ \in \ [a,b]}\ (m\leq f(x)\leq M)\quad \Leftrightarrow$

$~\exists _{m\ \in \ \mathbb {R} }\ \forall _{x\ \in \ [a,b]}\ (f(x)=m)\quad \lor \quad \exists _{\{m,M\}\ \subseteq \ \mathbb {R} \ \land \ m\ <\ M}\ \forall _{x\ \in \ [a,b]}\ (m\leq f(x)\leq M)$

Галактион 14:55, 22 серпня 2009 (UTC)