Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Подстраница "Користувач:Галактион/Повний метричний простір" создана для того, чтобы перенести информацию из раздела "Обговорення" статьи "Повний метричний простір ". Галактион 20:41, 5 березня 2010 (UTC)
Дополнение к статье "Повний метричний простiр"
d
⊢
S
i
s
a
c
o
m
p
l
e
t
e
m
e
t
r
i
c
s
p
a
c
e
w
i
t
h
t
h
e
m
e
t
r
i
c
d
.
↔
S
i
s
a
m
e
t
r
i
c
s
p
a
c
e
w
i
t
h
t
h
e
m
e
t
r
i
c
d
.
∧
∀
a
:
N
↦
S
(
∀
ε
∈
(
0
,
∞
)
∃
N
∈
N
∀
{
n
,
m
}
⊆
N
(
n
>
N
∧
m
>
N
→
d
(
a
n
,
a
m
)
<
ε
)
→
∃
s
∈
S
(
s
=
lim
n
→
∞
a
n
)
)
{\displaystyle {\begin{aligned}d\vdash \ S\ \mathrm {is\ a\ complete\ metric\ space\ with\ the\ metric} \ d.\ \leftrightarrow \ S\ \mathrm {is\ a\ metric\ space\ with\ the\ metric} \ d.\\\ \land \quad \forall _{\mathrm {a} :\ \mathbb {N} \ \mapsto \ S}\ \ (\ \forall _{\varepsilon \ \in \ (0,\infty )}\ \exists _{N\ \in \ \mathbb {N} }\ \forall _{\{n,m\}\ \subseteq \ \mathbb {N} }\ (n>N\ \land \ m>N\to d(a_{n},a_{m})<\varepsilon )\\\ \to \quad \exists _{s\ \in \ S}(s=\lim _{n\to \infty }a_{n})\ )\end{aligned}}}
Предыдущее определение можно записать так:
S
i
s
a
c
o
m
p
l
e
t
e
m
e
t
r
i
c
s
p
a
c
e
w
i
t
h
t
h
e
m
e
t
r
i
c
d
.
⇔
S
i
s
a
m
e
t
r
i
c
s
p
a
c
e
w
i
t
h
t
h
e
m
e
t
r
i
c
d
.
∧
{\displaystyle ~S\ \mathrm {is\ a\ complete\ metric\ space\ with\ the\ metric} \ d.\ \Leftrightarrow \ S\ \mathrm {is\ a\ metric\ space\ with\ the\ metric} \ d.\quad \land }
∀
a
:
N
↦
S
(
∀
ε
∈
(
0
,
∞
)
∃
N
∈
N
∀
{
n
,
m
}
⊆
N
(
n
>
N
∧
m
>
N
→
d
(
a
n
,
a
m
)
<
ε
)
→
(
lim
n
→
∞
a
n
)
∈
S
)
{\displaystyle ~\forall _{\mathrm {a} :\ \mathbb {N} \ \mapsto \ S}\ (\forall _{\varepsilon \ \in \ (0,\infty )}\ \exists _{N\ \in \ \mathbb {N} }\ \forall _{\{n,m\}\ \subseteq \ \mathbb {N} }\ (n>N\ \land \ m>N\to d(a_{n},a_{m})<\varepsilon )\ \to \ (\lim _{n\to \infty }a_{n})\in S)}
Примечание
Расшифровку предложения "S is a metric space with the metric d ." см. в разделе "Обговорення" к статье "Метричний простiр". Галактион 13:38, 17 серпня 2009 (UTC)
