Користувач:Галактион/Поточкова границя послідовності функцій

Подстраница "Користувач:Галактион/Поточкова границя послідовності функцій" создана для того, чтобі перенести информацию из раздела "Обговорення" статьи "Поточкова границя послідовності функцій". Галактион 12:49, 6 березня 2010 (UTC)

Дополнение к статье "Поточкова границя послiдовностi функцiй"

${\begin{aligned}d\vdash \ \mathbb {X} \times \mathbb {Y} \subseteq \mathbb {R} ^{2}\ \ \land \ \ \mathbb {X} \times \mathbb {Y} \neq \varnothing \ \ \land \ \ \mathrm {S_{f}} =\{\mathrm {f} |\ \ \mathrm {f} \in {\mathcal {P}}(\mathbb {X} \times \mathbb {Y} )\ \land \ \mathrm {f} :\mathbb {X} \mapsto \mathbb {Y} \}\ \ \land \ \ \mathrm {u} :\mathbb {N} \to \mathrm {S_{f}} \\\ \land \ \ \mathrm {v} \in \mathrm {S_{f}} \ \to \ (\mathrm {[The\ sequence]\ u\ converges\ pointwise\ to\ v.} \ \leftrightarrow \ \forall _{x\ \in \ \mathbb {X} }\ (\lim _{n\to \infty }u_{n}(x)=v(x)\ ))\end{aligned}}$

Примечание

$~\mathbb {X} \times \mathbb {Y} =\{\langle x,y\rangle |\ \ x\in \mathbb {X} \ \land \ y\in \mathbb {Y} \}$

$~{\mathcal {P}}(\mathbb {X} \times \mathbb {Y} )$ - булеан непустого декартового произведения $~\mathbb {X} \times \mathbb {Y}$, в котором $~\mathbb {X}$ и $~\mathbb {Y}$ - [собственные или несобственные] подмножества множества вещественных чисел $~\mathbb {R}$.

$~\mathrm {f} :\mathbb {X} \mapsto \mathbb {Y}$ - вещественная функция вещественного переменного, определённая на подмножестве вещественных чисел $~\mathbb {X}$ со значениями в подмножестве вещественных чисел $~\mathbb {Y}$.

$~\mathrm {S_{f}}$ - множество вещественных функций вещественного переменного, определённых на подмножестве вещественных чисел $~\mathbb {X}$ со значениями в подмножестве вещественных чисел $~\mathbb {Y}$.

$~\mathrm {u} :\mathbb {N} \mapsto \mathrm {S_{f}} \ \Leftrightarrow \ \mathrm {u} =\{\langle n,\mathrm {u} _{n}\rangle |\ \ \langle n,\mathrm {u} _{n}\rangle \in \mathbb {N} \times \mathrm {S_{f}} \quad \land \quad \mathrm {u} _{n}=\{\langle x,y\rangle |\ \ \langle x,y\rangle \in \mathbb {X} \times \mathbb {Y} \ \land \ y=u_{n}(x)\}\}$

$~\mathrm {v} \in \mathrm {S_{f}} \ \Leftrightarrow \ \mathrm {v} =\{\langle x,y\rangle |\ \ \langle x,y\rangle \in \mathbb {X} \times \mathbb {Y} \ \land \ y=v(x)\}$

$~\forall _{x\ \in \ \mathbb {X} }\ (\lim _{n\to \infty }u_{n}(x)=v(x))\ \Leftrightarrow \ \forall _{x\ \in \ \mathbb {X} }\ \forall _{\varepsilon \ \in \ (0,\infty )}\ \exists _{N\ \in \ \mathbb {N} }\ \forall _{n\ \in \ \mathbb {N} }\ (n>N\ \to \ |u_{n}(x)-v(x)|<\varepsilon )$

Галактион 18:58, 17 серпня 2009 (UTC)