Користувач:Галактион/Правило Лопіталя

Подстраница "Користувач:Галактион/Правило Лопіталя" создана для того, чтобы перенести информацию:

1) которая размещена в разделе "Обговорення" статьи "Правило Лопіталя",

2) ценность которой вызывает сомнения у по меньшей мере одного пользователя Украинского раздела Wikipedia.

Галактион 11:15, 4 березня 2010 (UTC)

Дополнение к статье "Правило Лопiталя"

$~t\vdash \ \mathbb {X} _{\mathrm {f} }\times \mathbb {Y} _{\mathrm {f} }\subseteq \mathbb {R} ^{2}\ \ \land \ \ \mathrm {f} :\mathbb {X} _{\mathrm {f} }\mapsto \mathbb {Y} _{\mathrm {f} }\quad \land \quad \mathbb {X} _{\mathrm {g} }\times \mathbb {Y} _{\mathrm {g} }\subseteq \mathbb {R} ^{2}\ \ \land \ \ \mathrm {g} :\mathbb {X} _{\mathrm {g} }\mapsto \mathbb {Y} _{\mathrm {g} }$

$~\land \quad a\in \mathbb {X} _{\mathrm {f} }\cap \mathbb {X} _{\mathrm {g} }\quad \land \quad \lim _{x\to a}f(x)=\lim _{x\to a}g(x)\quad \land \quad \{\lim _{x\to a}f(x),\ \ \lim _{x\to a}g(x)\}\ \subseteq \ \{\{-\infty \},\ \{0\},\ \{\infty \}\}$

$~\land \quad \exists _{\delta \ \in \ (0,\infty )}\ \forall _{x\ \in \ \mathbb {X} _{\mathrm {f} }\ \cap \ \mathbb {X} _{\mathrm {g} }\ \land \ 0\ <\ |x-a|\ <\ \delta }\ (f'(x)\in \mathbb {R} \ \ \land \ \ g'(x)\in \mathbb {R} \setminus \{0\})$

$~\to \quad (\ \exists _{L\ \in \ \mathbb {R} }\ (\lim _{x\to a}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}=L)\quad \to \quad \lim _{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to a}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}\ )$

Notes

$~\mathrm {f} :\mathbb {X} _{\mathrm {f} }\mapsto \mathbb {Y} _{\mathrm {f} }\quad \Leftrightarrow \quad \mathrm {f} =\{\langle x,y\rangle |\quad \langle x,y\rangle \in \mathbb {X} _{\mathrm {f} }\times \mathbb {Y} _{\mathrm {f} }\quad \land \quad y=f(x)\ \}$

$~\vdash \quad \mathbb {X} _{\mathrm {f} }\times \mathbb {Y} _{\mathrm {f} }=\{\langle x,y\rangle |\quad x\in \mathbb {X} _{\mathrm {f} }\quad \land \quad y\in \mathbb {Y} _{\mathrm {f} }\ \}$

$~\mathbb {X} _{\mathrm {f} }\times \mathbb {Y} _{\mathrm {f} }\subseteq \mathbb {R} ^{2}\quad \Leftrightarrow \quad \forall x\forall y\ (\ \langle x,y\rangle \in \mathbb {X} _{\mathrm {f} }\times \mathbb {Y} _{\mathrm {f} }\ \to \ \langle x,y\rangle \in \mathbb {R} ^{2}\ )$

$~\mathrm {g} :\mathbb {X} _{\mathrm {g} }\mapsto \mathbb {Y} _{\mathrm {g} }\quad \Leftrightarrow \quad \mathrm {g} =\{\langle x,y\rangle |\quad \langle x,y\rangle \in \mathbb {X} _{\mathrm {g} }\times \mathbb {Y} _{\mathrm {g} }\quad \land \quad y=g(x)\ \}$

$~\vdash \quad \mathbb {X} _{\mathrm {g} }\times \mathbb {Y} _{\mathrm {g} }=\{\langle x,y\rangle |\quad x\in \mathbb {X} _{\mathrm {g} }\quad \land \quad y\in \mathbb {Y} _{\mathrm {g} }\ \}$

$~\mathbb {X} _{\mathrm {g} }\times \mathbb {Y} _{\mathrm {g} }\subseteq \mathbb {R} ^{2}\quad \Leftrightarrow \quad \forall x\forall y\ (\ \langle x,y\rangle \in \mathbb {X} _{\mathrm {g} }\times \mathbb {Y} _{\mathrm {g} }\ \to \ \langle x,y\rangle \in \mathbb {R} ^{2}\ )$

$~a\in \mathbb {X} _{\mathrm {f} }\cap \mathbb {X} _{\mathrm {g} }\quad \Leftrightarrow \quad a\in \mathbb {X} _{\mathrm {f} }\ \ \land \ \ a\in \mathbb {X} _{\mathrm {g} }$

$~\vdash \quad \mathbb {X} _{\mathrm {f} }\cap \mathbb {X} _{\mathrm {g} }=\{x|\quad x\in \mathbb {X} _{\mathrm {f} }\quad \land \quad x\in \mathbb {X} _{\mathrm {g} }\ \}$

$~\lim _{x\to a}f(x)=-\infty \quad \Leftrightarrow \quad \forall _{m\ \in \ (-\infty ,\ 0)}\exists _{\delta \ \in \ (0,\ \infty )}\ \forall _{x\ \in \ \mathbb {X} _{\mathrm {f} }}\ (0<|x-a|<\delta \ \to \ f(x)<m)$

$~\lim _{x\to a}g(x)=-\infty \quad \Leftrightarrow \quad \forall _{m\ \in \ (-\infty ,\ 0)}\ \exists _{\delta \ \in \ (0,\ \infty )}\ \forall _{x\ \in \ \mathbb {X} _{\mathrm {g} }}\ (0<|x-a|<\delta \ \to \ g(x)<m)$

$~\lim _{x\to a}f(x)=0\quad \Leftrightarrow \quad \forall _{\varepsilon \ \in \ (0,\ \infty )}\ \exists _{\delta \ \in \ (0,\ \infty )}\ \forall _{x\ \in \ \mathbb {X} _{\mathrm {f} }}\ (0<|x-a|<\delta \ \to \ |f(x)|<\varepsilon )$

$~\lim _{x\to a}g(x)=0\quad \Leftrightarrow \quad \forall _{\varepsilon \ \in \ (0,\ \infty )}\ \exists _{\delta \ \in \ (0,\ \infty )}\ \forall _{x\ \in \ \mathbb {X} _{\mathrm {g} }}\ (0<|x-a|<\delta \ \to \ |g(x)|<\varepsilon )$

$~\lim _{x\to a}f(x)=\infty \quad \Leftrightarrow \quad \forall _{M\ \in \ (0,\ \infty )}\ \exists _{\delta \ \in \ (0,\ \infty )}\ \forall _{x\ \in \ \mathbb {X} _{\mathrm {f} }}\ (0<|x-a|<\delta \ \to \ f(x)>M)$

$~\lim _{x\to a}g(x)=\infty \quad \Leftrightarrow \quad \forall _{M\ \in \ (0,\ \infty )}\ \exists _{\delta \ \in \ (0,\ \infty )}\ \forall _{x\ \in \ \mathbb {X} _{\mathrm {g} }}\ (0<|x-a|<\delta \ \to \ g(x)>M)$

$~\vdash \quad f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}$

$~f'(x)\in \mathbb {R} \quad \Leftrightarrow \quad \exists y\ (y\in \mathbb {R} \ \ \land \ \ y=f'(x)\ )\quad \Leftrightarrow \quad \exists _{y\ \in \ \mathbb {R} }\ (y=f'(x))$

$~\vdash \quad g'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}$

$~g'(x)\in \mathbb {R} \setminus \{0\}\quad \Leftrightarrow \quad g'(x)\in \mathbb {R} \ \ \land \ \ g'(x)\notin \{0\}\quad \Leftrightarrow \quad g'(x)\in \mathbb {R} \ \ \land \ \ g'(x)\neq 0$

$~\exists _{L\ \in \ \mathbb {R} }\ (\lim _{x\to a}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}=L)\quad \Leftrightarrow \quad \exists L\ (\ L\in \mathbb {R} \ \ \land \ \ \lim _{x\to a}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}=L\ )\quad \Leftrightarrow \quad \lim _{x\to a}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}\in \mathbb {R}$

Галактион 10:02, 4 вересня 2009 (UTC)