Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Подстраница "Користувач:Галактион/Радикальна ознака Коші" создана для того, чтобы перенести информацию из раздела "Обговорення" статьи "Радикальна ознака Коші". Галактион 07:25, 6 березня 2010 (UTC)
Дополнение к статье "Радикальна ознака Кошi"
t
⊢
a
:
N
↦
R
∧
∀
n
∈
N
(
a
n
>
0
)
∧
∃
d
∈
(
0
,
1
)
∃
N
∈
N
∀
n
∈
N
∧
n
>
N
(
a
n
n
<
d
)
→
(
∑
i
=
0
∞
a
i
)
∈
R
{\displaystyle ~t\vdash \ \mathrm {a} :\mathbb {N} \mapsto \mathbb {R} \ \ \land \ \ \forall _{n\ \in \ \mathbb {N} }\ (a_{n}>0)\ \ \land \ \ \exists _{d\ \in \ (0,1)}\ \exists _{N\ \in \ \mathbb {N} }\ \forall _{n\ \in \ \mathbb {N} \ \land \ n\ >\ N}\ ({\sqrt[{n}]{a_{n}}}<d)\to (\sum _{i=0}^{\infty }a_{i})\in \mathbb {R} }
t
⊢
a
:
N
↦
R
∧
∀
n
∈
N
(
a
n
>
0
)
∧
lim
n
→
∞
a
n
n
∈
(
0
,
1
)
→
(
∑
i
=
0
∞
a
i
)
∈
R
{\displaystyle ~t\vdash \ \mathrm {a} :\mathbb {N} \mapsto \mathbb {R} \quad \land \quad \forall _{n\ \in \ \mathbb {N} }\ (a_{n}>0)\quad \land \quad \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{a_{n}}}\in (0,1)\quad \to \quad (\sum _{i=0}^{\infty }a_{i})\in \mathbb {R} }
t
⊢
a
:
N
↦
R
∧
∀
n
∈
N
(
a
n
>
0
)
∧
lim
n
→
∞
a
n
n
∈
(
1
,
∞
)
→
lim
n
→
∞
(
∑
i
=
0
n
a
i
)
=
∞
{\displaystyle ~t\vdash \ \mathrm {a} :\mathbb {N} \mapsto \mathbb {R} \quad \land \quad \forall _{n\ \in \ \mathbb {N} }\ (a_{n}>0)\quad \land \quad \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{a_{n}}}\in (1,\infty )\quad \to \quad \lim _{n\to \infty }(\sum _{i=0}^{n}a_{i})=\infty }
Примечание
Две предыдущие теоремы можно соединить в одну [теорему], а именно:
t
⊢
a
:
N
↦
R
∧
∀
n
∈
N
(
a
n
>
0
)
→
{\displaystyle ~t\vdash \ \mathrm {a} :\mathbb {N} \mapsto \mathbb {R} \quad \land \quad \forall _{n\ \in \ \mathbb {N} }\ (a_{n}>0)\quad \to }
(
lim
n
→
∞
a
n
n
∈
(
0
,
1
)
→
(
∑
i
=
0
∞
a
i
)
∈
R
)
∧
(
lim
n
→
n
a
n
n
∈
(
1
,
∞
)
→
lim
n
→
∞
(
∑
i
=
0
n
a
i
)
=
∞
)
{\displaystyle ~(\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{a_{n}}}\in (0,1)\ \to \ (\sum _{i=0}^{\infty }a_{i})\in \mathbb {R} )\quad \land \quad (\lim _{n\to n}{\sqrt[{n}]{a_{n}}}\in (1,\infty )\ \to \ \lim _{n\to \infty }(\sum _{i=0}^{n}a_{i})=\infty )}
Галактион 20:47, 15 серпня 2009 (UTC)