Користувач:Галактион/Теорема Коші про середнє значення

Подстраница "Користувач:Галактион/Теорема Коші про середнє значення" создана для того, чтобы перенести информацию из раздела "Обговорення" статьи "Теорема Коші про середнє значення". Галактион 04:40, 5 березня 2010 (UTC)

Формулировки теореми Коші про середне значення на языке сообщества математиков

${\begin{aligned}t\vdash \quad \mathbb {X} _{\mathrm {f} }\times \mathbb {Y} _{\mathrm {f} }\subseteq \mathbb {R} ^{2}\ \land \ \mathbb {X} _{\mathrm {g} }\times \mathbb {Y} _{\mathrm {g} }\subseteq \mathbb {R} ^{2}\ \land \ \{a,\ b\}\subseteq \mathbb {R} \ \land \ a<b\ \land \ [a,\ b]\subseteq \mathbb {X} _{\mathrm {f} }\cap \mathbb {X} _{\mathrm {g} }\ \ \land \\\ \mathrm {f} :\mathbb {X} _{\mathrm {f} }\mapsto \mathbb {Y} _{\mathrm {f} }\ \land \ \mathrm {g} :\mathbb {X} _{\mathrm {g} }\mapsto \mathbb {Y} _{\mathrm {g} }\ \land \ \{\mathrm {f} ,\ \mathrm {g} \}\subseteq \mathrm {C_{ont}} ([a,\ b])\ \land \ \{\mathrm {f} ,\ \mathrm {g} \}\subseteq \mathrm {C_{ont}^{1}} ((a,\ b))\\\ \to \ \ (\forall _{x\ \in \ (a,b)}\ (g'(x)\neq 0)\ \ \to \ \ \exists _{c\ \in \ (a,b)}\ ({\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}={\frac {f'(c)}{g'(c)}})\ )\end{aligned}}$

${\begin{aligned}t\vdash \quad \{\mathrm {dom(f)} \times \mathrm {cod(f)} ,\ \mathrm {dom(g)} \times \mathrm {cod(g)} \}\subseteq {\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{2})\ \land \ \{a,b\}\subseteq \mathbb {R} \ \land \ a<b\ \ \land \\\ [a,b]\subseteq \mathrm {dom(f)} \cap \mathrm {dom(g)} \ \land \ \{\mathrm {f} ,\mathrm {g} \}\subseteq \mathrm {C_{ont}} ([a,b])\ \land \ \{\mathrm {f} ,\mathrm {g} \}\subseteq \mathrm {C_{ont}^{1}} ((a,b))\to \\\ (\forall x\ (x\in (a,b)\to g'(x)\neq 0)\ \to \ \exists c\ (c\in (a,b)\ \land \ {\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}={\frac {f'(c)}{g'(c)}})\ )\end{aligned}}$

Примечание

Г.М. Фихтенгольц излагает теорему Коши так:

Пусть 1) функции $~f(x)$ и $~g(x)$ непрерывны в замкнутом промежутке $~[a,\ b]$; 2) существуют конечные производные $~f'(x)$ и $~g'(x)$, по крайней мере, в открытом промежутке $~(a,\ b)$; 3) $~g'(x)\neq 0$ в промежутке $~(a,b)$.

Тогда между $~a$ и $~b$ найдётся такая точка $~c\ (a<c<b)$, что

$~{\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}={\frac {f'(c)}{g'(c)}}$.

Если конкретизировать функцию $~\mathrm {g} :X_{2}\mapsto Y_{2}$ в виде

$~\mathrm {g} =\{\langle x,y\rangle |\ \ \langle x,y\rangle \in \mathbb {R} ^{2}\ \land \ y=x\}$

тогда получим следующее:

$~0.\ g(x)=x\ \land \ g'(x)=1\ \land \ \forall x\ (x\in (a,b)\to g'(x)\neq 0)$

$~1.\ \mathrm {g'} =\{\langle x,y\rangle |\ \ \langle x,y\rangle \in \mathbb {R} ^{2}\ \land \ y=1\}$

$~2.\ g(b)=b\ \land \ g(a)=a\ \land \ g(b)-g(a)=b-a\ \land \ g'(c)=1$

${\begin{aligned}3.\ t\vdash \quad X\times Y\subseteq \mathbb {R} ^{2}\ \land \ \{a,b\}\subseteq \mathbb {R} \ \land \ a<b\ \land \ [a,b]\subseteq X\ \land \ \mathrm {f} :X\mapsto Y\ \land \\\ \mathrm {f} \in \mathrm {C_{ont}} ([a,b])\ \land \ \mathrm {f} \in \mathrm {C_{ont}^{1}} ((a,b))\ \to \ \exists _{c\ \in \ (a,b)}({\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}=f'(c)\ )\end{aligned}}$

Теорема об остаточном члене

Руководствуясь теоремой Коши можно доказать следующую теорему

$~t\vdash \quad T_{1}\times Y_{1}\subseteq \mathbb {R} ^{2}\ \land \ T_{2}\times Y_{2}\subseteq \mathbb {R} ^{2}\ \land \ \{x_{0},x\}\subseteq \mathbb {R} \ \land \ x_{0}<x\ \land \ [x_{0},x]\subseteq T_{1}\cap T_{2}\ \land$

${\begin{aligned}\mathrm {f} :T_{1}\mapsto Y_{1}\ \land \ \mathrm {g} :T_{2}\mapsto Y_{2}\ \land \ \forall _{i\ \in \ \mathbb {N} \ \land \ i\ <\ n+1}\ (\mathrm {f} \in \mathrm {C_{ont}^{i}} ([x_{0},x]))\ \land \ \mathrm {g} \in \mathrm {C_{ont}^{0}} ([x_{0},x])\ \land \\\ \mathrm {f} \in \mathrm {C_{ont}^{n+1}} ((x_{0},x))\ \land \ \mathrm {g} \in \mathrm {C_{ont}^{1}} ((x_{0},x))\ \land \ \forall t\ (t\in (x_{0},x)\to g'(t)\neq 0)\ \land \\\ r_{n}(x_{0},x)=f(x)-\sum _{k=0}^{n}{\frac {f^{(k)}(x_{0})}{k!}}(x-x_{0})^{k}\ \to \\\ \exists c\ (c\in (x_{0},x)\ \land \ r_{n}(x_{0},x)={\frac {g(x)-g(x_{0})}{g'(c)\cdot n!}}\cdot f^{(n+1)}(c)\cdot (x-c)^{n}\ )\end{aligned}}$

Если конкретизировать функцию $~\mathrm {g} :T_{2}\mapsto Y_{2}$ так

$~\mathrm {g} =\{\langle t,y\rangle |\ \ \langle t,y\rangle \in \mathbb {R} ^{2}\ \land \ y=x-t\}$,

тогда получим следующее:

$~0.\ g(t)=x-t\ \land \ g'(t)=-1\ \land \ \forall t\ (t\in (x_{0},x)\to g'(t)\neq 0)$

$~1.\ \mathrm {g'} =\{\langle t,y\rangle |\ \ \langle t,y\rangle \in \mathbb {R} ^{2}\ \land y=-1\}$,

$~2.\ g(x)=x-x=0\ \land \ g(x_{0})=x-x_{0}\ \land \ g(x)-g(x_{0})=-(x-x_{0})\ \land \ g'(c)=-1$,

${\begin{aligned}3.\ t\vdash \quad T\times Y\subseteq \mathbb {R} ^{2}\ \land \ \{x_{0},x\}\subseteq \mathbb {R} \ \land \ x_{0}<x\ \land \ [x_{0},x]\subseteq T\ \land \ \mathrm {f} :T\mapsto Y\ \land \\\ \forall i\ (i\in \mathbb {N} \ \land \ i<n+1\to \mathrm {f} \in \mathrm {C_{ont}^{i}} ([x_{0},x])\ )\ \land \ \mathrm {f} \in \mathrm {C_{ont}^{n+1}} ((a,b))\ \land \\\ r_{n}(x_{0},x)=f(x)-\sum _{k=0}^{n}{\frac {f^{k}(x_{0})}{k!}}(x-x_{0})^{k}\ \to \\\ \exists c\ (c\in (x_{0},x)\ \land \ r_{n}(x_{0},x)={\frac {f^{(n+1)}(c)}{n!}}\cdot (x-x_{0})\cdot (x-c)^{n}\ )\end{aligned}}$

Если конкретизировать функцию $~\mathrm {g} :T_{2}\mapsto Y_{2}$ так

$~\mathrm {g} =\{\langle t,y\rangle |\ \ \langle t,y\rangle \in \mathbb {R} ^{2}\ \land \ y=(x-t)^{n+1}\}$

тогда получим следующее:

$~0.\ g(t)=(x-t)^{n+1}\ \land \ g'(t)=-(n+1)\cdot (x-t)^{n}\ \land \ \forall t\ (t\in (x_{0},x)\to g'(t)\neq 0)$

$~1.\ \mathrm {g'} =\{\langle t,y\rangle |\ \ \langle t,y\rangle \in \mathbb {R} ^{2}\ \land \ y=-(n+1)\cdot (x-t)^{n}\}$

${\begin{aligned}2.\ g(x)=(x-x)^{n+1}=0\ \land \ g(x_{0})=(x-x_{0})^{n+1}\ \land \ g(x)-g(x_{0})=-(x-x_{0})^{n+1}\ \land \\\ g'(c)=-(n+1)\cdot (x-c)^{n}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}3.\ t\vdash \quad T\times Y\subseteq \mathbb {R} ^{2}\ \land \ \{x_{0},x\}\subseteq \mathbb {R} \ \land \ x_{0}<x\ \land \ [x_{0},x]\subseteq T\ \land \ \mathrm {f} :T\mapsto Y\ \ \land \\\ \forall i\ (i\in \mathbb {N} \ \land i<n+1\to \mathrm {f} \in \mathrm {C_{ont}^{i}} ([x_{0},x])\ )\ \land \ \mathrm {f} \in \mathrm {C_{ont}^{n+1}} ((x_{0},x))\ \land \\\ r_{n}(x_{0},x)=f(x)-\sum _{k=0}^{n}{\frac {f^{k}(x_{0})}{k!}}(x-x_{0})^{k}\ \to \\\ \exists c\ (c\in (x_{0},x)\ \land \ r_{n}(x_{0},x)={\frac {f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}}\cdot (x-x_{0})^{n+1}\ )\end{aligned}}$