Користувач:Галактион/Фундаментальна послідовність

Подстраница "Користувач:Галактион/Фундаментально послідовність" создана для того, чтобі перенести информацию из раздела "Обговорення" статьи "Фундаментальна послідовність". Галактион 13:41, 6 березня 2010 (UTC)

Дополнение к статье "Фундаментальна послідовність"

Определение фундаментальной последовательности (последовательности Коши) на языке сообщества математиков:

$~d\vdash \quad \mathbb {Y} \subseteq \mathbb {R} \to (\mathrm {a} :\mathbb {N} \mapsto \mathbb {Y} \ \mathrm {is\ a\ Cauchy\ sequence.} \ \leftrightarrow$

$~\forall \varepsilon \ (\varepsilon \in \mathbb {R} \ \land \ \varepsilon >0\to \exists N\ (N\in \mathbb {N} \ \land \ \forall n\forall m\ (\{n,m\}\subseteq \mathbb {N} \to (n>N\ \land \ m>N\to |a_{n}-a_{m}|<\varepsilon ))))\ )$

Используя ограниченные кванторы, определение фундаментальной последовательности можно записать короче, а именно

$~\mathbb {Y} \subseteq \mathbb {R} \ \Rightarrow \mathrm {a} :\mathbb {N} \mapsto \mathbb {Y} \ \mathrm {is\ a\ Cauchy\ sequence.} \ \leftrightarrow$

$~\forall _{\varepsilon \ \in \ (0,\infty )}\ \exists _{N\ \in \ \mathbb {N} }\ \forall _{\{n,\ m\}\ \subseteq \ \mathbb {N} }\ (n>N\ \land \ m>N\to |a_{n}-a_{m}|<\varepsilon )$

Обобщим вышеуказанное определение

${\begin{aligned}d\vdash \ \mathrm {The\ sequence} \ \ \mathrm {a} :\mathbb {N} \mapsto S\ \ \mathrm {is\ a\ Cauchy\ sequence\ in\ the\ metric\ space} \ \ S\ \ \mathrm {with\ the\ metric} \ \ d.\\\ \leftrightarrow \quad \forall _{\varepsilon \ \in \ (0,\infty )}\ \exists _{N\ \in \ \mathbb {N} }\ \forall _{\{n,m\}\ \subseteq \ \mathbb {N} }\ (n>N\ \land \ m>N\ \to \ d(a_{n},a_{m})<\varepsilon )\end{aligned}}$

Галактион 14:06, 17 серпня 2009 (UTC)