Користувач:Олюсь/hc4

Двовимірні гіперкомплексні системи

$z=a+(bi+cj+dk)=a+I$

Лінійні підстановки

$ij=a+bi+cj+dk$

$(i-c)(j-b)=(a+cb)+dk$

$i_{1}j_{1}=k_{1}$

Спряженість

$z{\bar {z}}={\bar {z}}z\in \mathbb {R}$

$1{\bar {1}}={\bar {1}}1\in \mathbb {R}$

$I{\bar {I}}={\bar {I}}I\in \mathbb {R}$

$z{\bar {z}}={\bar {z}}z=(a+I)({\bar {a}}+{\bar {I}})=(a{\bar {a}}+I{\bar {I}})+a{\bar {I}}+{\bar {a}}I=(a{\bar {a}}+I{\bar {I}})+a({\bar {I}}+I)\in \mathbb {R}$

Отже

${\bar {I}}=-I\quad \to \quad I^{2}=-I{\bar {I}}\in \mathbb {R}$ — з цього випливає степенева асоціативність

$z^{2}=(a+I)(a+I)=(a^{2}+I^{2})+2aI$ — це фактично число з однією уявною одиницею, а вони комутативні

$zz^{2}=(a+I)[(a^{2}+I^{2})+2aI]=a(a^{2}+3I^{2})+(3a^{2}+I^{2})I$ — можна розкривати по біному

Квадрати:

$I^{2}=(bi+cj+dk)^{2}=b^{2}i^{2}+c^{2}j^{2}+d^{2}k^{2}+bc(ij+ji)+bd(ik+ki)+cd(jk+kj)\in \mathbb {R} \quad \forall a,b,c$

Тоді нехай:

$ii=a\in \mathbb {R}$

$jj=b\in \mathbb {R}$

$kk=c\in \mathbb {R}$

Комутативність і антикомутативність

Сума К +АК

Степенева асоціативність

Куб

$ii=a_{ii}+b_{ii}i+c_{ii}j+d_{ii}k$

$jj=a_{jj}+b_{jj}i+c_{jj}j+d_{jj}k$

$kk=a_{kk}+b_{kk}i+c_{kk}j+d_{kk}k$

$0=i*ii-ii*i=c_{ii}(ij-ji)+d_{ii}(ik-ki)$

$0=j*jj-jj*j=b_{jj}(ji-ij)+d_{jj}(jk-kj)$

$0=k*kk-kk*k=b_{kk}(ki-ik)+c_{kk}(kj-jk)$

$c_{ii}[i,j]=d_{ii}[k,i]$

$b_{jj}[i,j]=d_{jj}[j,k]$

$b_{kk}[k,i]=c_{kk}[j,k]$

Довести: або всі коефіцієнти нульові, або є комутативність.

$i(c_{ii}j+d_{ii}k)=(c_{ii}j+d_{ii}k)i$

$j(b_{jj}i+d_{jj}k)=(b_{jj}i+d_{jj}k)j$

$k(b_{kk}i+c_{kk}j)=(b_{kk}i+c_{kk}j)k$

4 степінь

$ii=a+bi+cj+dk$

$i^{2}i^{2}=[(a+bi)+(cj+dk)]^{2}=(a+bi)^{2}+2(a+bi)(cj+dk)+(cj+dk)^{2}$

$i\cdot i^{2}\cdot i=i[(a+bi)+(cj+dk)]i=(a+bi)i^{2}+(cj+dk)i^{2}$

https://mathworld.wolfram.com/HypercomplexNumber.html