Користувач:Kanzat/Екзамен

Зараз буде зміст

Векторний простір над полем, приклади. Поняття векторного підпростору та фактор-простору, способи їх задання.. Поняття базису векторного простору, еквівалентність різних означень.

Вектор - елемент векторного простору.

Вектором розмірності n будемо називати послідовність $a=(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})$ з n елементів деякого заданого поля P, розташованих у вказаному порядку.

Сума векторів обчислюється покоординатно: $a+b=(a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2},\dots ,a_{n}+b_{n})$.

Добуток на скаляр теж: $\lambda \cdot a=(\lambda \cdot a_{1},\dots ,\lambda \cdot a_{n})$.

Сукупність усіх n-вимірних векторів виду $a=(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})$, на якій визначено дії додавання та множення на скаляр, називається арифметичним векторним простором.

Лінійним (або векторним) простором над полем P називається множина математичних об'єктів V з визначеними на ній операціями додавання та множення на елементи поля Р, які задовольняють наступним аксіомам:

• $A_{0}.\ \ a+b=b+a\ \qquad \forall a,b\in V$.
• $A_{1}.\ \ (a+b)+c=a+(b+c)\ \qquad \forall a,b,c\in V$.
• $A_{2}.\ \ \exists 0:\ a+0=a\ \qquad \forall a\in V$ (0 - нейтральний елемент відносно додавання).
• $A_{3}.\ \ \forall a\in V\ \qquad \exists (-a):a+(-a)=0$ (-a - протилежний елемент).
• $A_{4}.\ \ \lambda \cdot (a+b)=\lambda \cdot a+\lambda \cdot b\ \qquad \forall a\in V,\lambda \in P$.
• $A_{5}.\ \ (\lambda \cdot \mu )\cdot a=\lambda \cdot (\mu \cdot a)\ \qquad \forall a\in V,\lambda ,\mu \in P$.
• $A_{6}.\ \ (\lambda +\mu )\cdot a=\lambda \cdot a+\mu \cdot a$.
• $A_{7}.\ \ 1\cdot a=a\ \qquad \forall a\in V$ (1 - нейтральний елемент відносно множення).

Елементи множини V називаються векторами.

приклади:

• С([a,b]) - множина всіх неперервних на [a; b] функцій.
• простір всіх многочленів не вище n-го степеня.

Векторний підпростір - це підмножина векторного простору $W\subset V$, яка задовольняє такі умови:

• $\forall x,y\in W:\ x+y\in W$,
• $\forall \alpha \in P:\ \alpha \cdot x\in W$.

Фактор-простір : для будь-якого x,y є V x~y <=> x-y є W. V/W - фактор-простір. dim V= dim W +dim V/W.

TODO: написати цей пункт!

Нехай $\lambda _{1},\dots ,\lambda _{k}$ - деякі числа, $a_{1},\dots ,a_{k}$ - деякі вектори.

Вектор $b=\lambda _{1}\cdot a_{1}+\dots +\lambda _{k}\cdot a_{k}$ називається лінійною комбінацією векторів $a_{1},\dots ,a_{k}$.

Система векторів $a_{1},\dots ,a_{k}$ називається лінійно залежною, якщо існують числа $\lambda _{1},\dots ,\lambda _{k}$, не всі рівні 0, такі, що $\lambda _{1}\cdot a_{1}+\dots +\lambda _{k}\cdot a_{k}=0$.

Система векторів $a_{1},\dots ,a_{k}$ називається лінійно незалежною, якщо рівність $\lambda _{1}\cdot a_{1}+\dots +\lambda _{k}\cdot a_{k}=0$ можлива тільки тоді, коли всі числа λ дорівнюють 0.

Підсистема векторів $a_{1},\dots ,a_{k}$ системи $a_{1},\dots ,a_{k},a_{k+1},\dots ,a_{m}$ називається породжуючою підсистемою, якщо всі інші вектори системи є лінійними комбінаціями векторів $a_{1},\dots ,a_{k}$.

Породжуюча підсистема називається мінімальною породжуючою, якщо після вилучення з неї будь-якого вектора вона перестає бути породжуючою.

Підсистема векторів називається максимальною лінійно незалежною, якщо після додавання до неї будь-якого вектора системи вона стає лінійно залежною.

Теорема. Максимальна лінійно незалежна підсистема векторів є мінімальною породжуючою і навпаки.

Мінімальна породжуюча (максимальна лінійно незалежна) підсистема системи векторів називається базою системи векторів.

Мінімальна породжуюча (максимальна лінійно незалежна) система векторів простору V називається базисом простору V.

Системи лінійних рівнянь. Загальний та частковий розв’язки. Матричні форми систем лінійних рівнянь. Теорема Кронекера-Капеллі.

Загальний вигляд системи лінійних рівнянь:

 a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1
 a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2
 ……………………………         
 am1x1+am2x2+…+amnxn=bm    (1)

З системою (1) пов’язують дві матриці: основну матрицю (матрицю коефіцієнтів) та розширену.

Впорядкована множина n чисел λ1,...λn називається розв’язком системи (1), якщо при підстановці чисел λ1...λn в систему (1) замість x1,…,xn відповідно одержуємо справедливі рівності.

Ситема лінійних рівнянь називається сумісною, якщо вона має розв’язок.

Сумісна система лінійних рівнянь називається визначеною, якщо має єдиний розв’язок. Сумісна система лінійних рівнянь, яка має безліч розв’язків, називається невизначеною.

Невідомі , з яких починаються 1-е, 2-е,…, r-те рівняння системи, зведеної до східчастого виду , будемо називати головними, а інші, якщо такі є – вільними.

Вільним невідомим можемо надавати довільні значення. Значення головних невідомих однозначно визначаються через вільні невідомі з системи .

Вираз головних невідомих через вільні називається загальним розв’язком системи. Надаючи вільним невідомим деякі конкретні значення, одержуємо частковий розв’язок системи.

Кількість ненульових рядків матриці після зведення її до східчастого виду будемо називати (рядковим) рангом матриці .

Лема. При елементарних перетвореннях рядків або стовпчиків ранг матриці не змінюється.

Нехай задано систему m лінійних рівнянь з n невідомими: ${\begin{cases}{\begin{alignedat}{7}a_{11}x_{1}&&\;+\;&&a_{12}x_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{1n}x_{n}&&\;=\;&&&b_{1}\\a_{21}x_{1}&&\;+\;&&a_{22}x_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{2n}x_{n}&&\;=\;&&&b_{2}\\\vdots \;\;\;&&&&\vdots \;\;\;&&&&\vdots \;\;\;&&&&&\vdots \\a_{m1}x_{1}&&\;+\;&&a_{m2}x_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{mn}x_{n}&&\;=\;&&&b_{m}.\\\end{alignedat}}\end{cases}}$

Складемо основну матрицю А і розширену матрицю ${\tilde {A}}$ даної системи:

$A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{pmatrix}}$ ${\tilde {A}}={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}&b_{1}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}&b_{2}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}&b_{m}\end{pmatrix}}$

Про існування розв'язку нашої системи говорить теорема Кронекера-Капеллі.

Теорема (Кронекера-Капеллі) Для того, щоб система лінійних рівнянь була сумісною, необхідно і достатньо, щоб ранг її основної матриці дорівнював рангу розширеної матриці.

Якщо ранг основної матриці дорівнює рангу розширеної матриці і дорівнює числу невідомих, то система має єдиний розв'язок.

Якщо ранг основної матриці дорівнює рангу розширеної матриці, але менший числа невідомих, то система має безліч розв'язків.

Пояснення: => Якщо система сумісна, то стовпчик вільних членів є лінійною комбінацією стовпчиків основної матриці, а отже його приєднання до системи не збільшить рангу сукупності стовпчиків основної матриці. <= навпаки, якщо приєднання стовпчика вільних членів до сукупності стовпчиків основної матриці не збільшує рангу сист векторів, то це означає,що цей стовпчик вільних членів є лінійною комбінацією стовпчиків основної матриці, а отже система є сумісною.

Алгебра матриць. Оборотні матриці та їх властивості. Обчислення обернених матриць за допомогою елементарних перетворень.

матриця – це таблиця чисел , складена з m рядків та n стовбців.

Квадратна матриця виду ((a11 ... 0) (0 a22 ...0)....(0... ann)) - діагональна. ((a11 ... a1n) (0 a22 ...a2n)....(0... ann)) - трикутна.

Дві матриці A і B розмірності mxn рівні <=> коли aij=bij для всіх i,j: 1<=i<=m,1<=i<=n . Діагональна матриця, у якої на діагоналі стоять однакові числа, називається скалярною.

Скалярна матриця, у якої на головній діагоналі стоять 1, називається одиничною, і позначається Е.

Матриці А і В назив. узгодженими для додавання, якщо мають однакову розмірність mxn.

Сума двох матриць А і В назив мариця С=А+В розмірності mxn , кожен елемент якої cij=aij+bij.

Добуток матриці А на число л назив матр B=лА, кожен елемент якої bij=лaij. матриця (-1)А протилежна до А.

Матриці А розмірності mxr і В розмірності kxn узгоджені для множення,якщо к-сть стовпчиків першої=к-сті рядків другої r=k. Добуток матриці A (mxk) на B (kxn) - матриця С (mxn), кожен елем обчислюється : gama ij = SUMM (r=1)(n)(air*brj), 1<=i<=m,1<=j<=n.

Властивості множення.

• 1. Множення матриць не комутативне: AB не= BA
• 2. Множення матриць асоціативне:(AB)C=A(BC), A(p,q), B(q,r) C(r,s).
• 3.(AB)^T=B^T*A^T.
• 4.Якщо A – квадратна матриця n-того порядку, і E – одинична матриця того ж порядку, то AE=EA=A.
• 5.А(В+С)=АВ+ВС.

Теорма. det(AB)=detA*detB,якщо A,B -квадратні однакового порядку. Квадратна матриця A n-того порядку називається невиродженою, якщо det A !=0 , і виродженою, якщо detA=0. .

Алгебраическим дополнением элемента aij матрицы A называется число

Aij = (?1)^(i + j)M_(ij), где M_(ij) — минор, определитель матрицы, получающейся из A вычёркиванием i -й строки и j -го столбца.

Матриця A*=((A11 A21 ...An1)(A12 A22... An2)...(A1n A2n...Ann)) транспонована до матриці, складеної з алгебраїчних доповнень елементів матриці A , називається приєднаною до A .

AA*=((detA 0...0)(0 detA...0)...(0...detA)). Якщо матриця A невироджена, то її приєднана матриця A* теж невироджена, причому detA*=(detA)^(n-1).

Таким чином, якщо матриця A – невирожена, detA!=0 , то існує обернена матриця: A^(-1)=(1/detA)A* . A^(-1)A=AA^(-1)=E.

• 1.Обернена матриця A^(-1) для невиродженої матриці A існує і є єдиною і невиродженою.
• 2. Визначник detA^(-1)=(detA)^(-1) .
• 3 Обернена до A^(-1) дорівнює A : (A^(-1))^-1=A.
• 4. (A^T)^(-1)=(A^(-1))^T.
• 5. Якщо існують A^(-1) і B^(-1) , то (AB)^-1=B^(-1)A^(-1).
• 6. Якщо матриця A така, що A^-1=A^T , то кажуть, що A є ортогональною матрицею і A^T A=AA^T=E.

Визначник, як полілінійний кососиметричний функціонал, геометричний зміст.

Нехай V=V(F) - векторний простір довільної скінченої розмірності над довільним полем F.

Відображення S:V x V -> F наз. кососиметричним, якщо має місце тотожність : для будь-якого u,v є V S(u,v)=-S(v,u).

Відображення D:VxVxVxVx ….xV -> F називається кососиметричним, якщо воно є таким по будь-яких двох аргументах при фіксованих значеннях решти.

|* ...(a11+b11 ... a1n+b1n)... *|=|* ...(a11 ... a1n)... *|+|* ...(b11 ... b1n)... *| - полілінійність.

Визначник – полілінійний кососиметричний функціонал, заданий на арифметичному векторному просторі, який на канонічному базисі набуває значення 1.

Визначником квадратної матриці порядку n (чи визначником порядку n) називається алгебраїчна сума усіх можливих добутків елементів матриці, що взяті по одному з кожного рядка та по одному з кожного стовпчика. Кожен такий добуток береться зі знаком + , якщо індекси утворюють парну перестановку, та зі знаком - , якщо індекси утворюють непарну перестановку.

Геометричний зміст- орієнтовний об’єм n-вимірного паралелепіпеда.

Для nxn матриці визначник має вигляд полінома степені n від елементів матриці, що уявляє собою суму добутків елементів матриці зі всіма можливими комбінаціями різних номерів рядків і стовпців, причому в кожному із добутків є рівно по одному елементу з кожного рядка і кожного стовпця. Кожному добутку приписується знак плюс чи минус, в залежності віж парності перестановки номерів.

Нехай (a1,a2,... an) -деяка перестановка чисел (1,2,...n) . Пара елементів (ai,aj) утворює інверсію, якщо ai>aj,i<j. Число усіх таких пар позначається inv(a1,a2,...an).

1. Загальне правило знаків. Надалі буде корисно визначати, з яким знаком входить у визначник |(a11 a12 .. a1n)...(an1 an2 ... ann)| доданок a<α1 β1>a<α2 β2>..a<α n β n>, де (α1,α2,..αn) i (β1..β n)- дві перестановки чисел 1,2, ..n).

Властивості визначників. Формули для обертання матриць, формули Крамера.

http://usic.org.ua/~hitmax/Derzh/questions/LA/5.la.vlast_vyznach.txt

Лінійні відображення та оператори. Алгебра лінійних операторів. Ізоморфізм алгебри лінійних операторів і алгебри матриць

Лінійним відображенням або лінійним оператором векторного простору V в векторний простір T називається функція A, визначена на V зі значеннями в T, що задовольняє умовам лінійності.

$A(\alpha _{1}\nu _{1}+\alpha _{2}\nu _{2})=\alpha _{1}A\nu _{1}+\alpha _{2}A\nu _{2}$

Примітка. Деякі науковці розрізняють поняття лінійного відображення і лінійного оператора і вважають, що лінійний оператор - це лінійне відображення з V у V (прообраз і образ збігаються).

Лінійні відображення будемо записувати рукописними прописними літерами перед позначенням вектора, опускаючи дужки. Найцікавішими є оператори, які відображають простір V в себе: $V\to V$

Матриця лінійного відображення

Нехай $A:V\to T$

Нехай $dim\ V=n,\ dim\ T=m,\ e_{1},\dots ,e_{n}$ - базис V, $f_{1},\dots ,f_{m}$ - базис T.

Зрозуміло, що в силу лінійності A значення A повністю визначаються значеннями на базисі $e_{1},\dots ,e_{n}$.

Якщо $x=\xi _{1},\xi _{2},\dots ,\xi _{n}=\xi _{1}e_{1}+\dots +\xi _{n}e_{n}$, то $Ax=A(\xi _{1}e_{1}+\dots +\xi _{n}e_{n})=\xi _{1}Ae_{1}+\dots +\xi _{n}Ae_{n}$.

Нехай

${\begin{matrix}Ae_{1}=\alpha _{11}f_{1}+\alpha _{21}f_{2}+\dots +\alpha _{m1}f_{m}\\\dots \qquad \dots \qquad \dots \qquad \dots \qquad \dots \\Ae_{n}=\alpha _{1n}f_{1}+\alpha _{2n}f_{2}+\dots +\alpha _{mn}f_{m}\\\end{matrix}},\qquad \qquad A={\begin{pmatrix}\alpha _{11}&\alpha _{21}&\dots &\alpha _{1n}\\\alpha _{21}&\alpha _{22}&\dots &\alpha _{2n}\\\dots &\dots &\dots &\dots \\\alpha _{m1}&\alpha _{m2}&\dots &\alpha _{mn}\\\end{pmatrix}}$

- матриця оператора .

Тоді координати ${\begin{pmatrix}\eta _{1}\\\eta _{2}\\\dots \\\eta _{n}\end{pmatrix}}$ вектора y = Ax задаються формулами:

${\begin{matrix}\eta _{1}&=\alpha _{11}\xi _{1}+&\alpha _{21}\xi _{2}+&\dots +\alpha _{1n}\xi _{n}\\\eta _{2}&=\alpha _{21}\xi _{1}+&\alpha _{22}\xi _{2}+&\dots +\alpha _{2n}\xi _{n}\\\dots &\qquad \dots \qquad &\dots \qquad \dots &\qquad \dots \\\eta _{m}&=\alpha _{m1}\xi _{1}+&\alpha _{m2}\xi _{2}+&\dots +\alpha _{mn}\xi _{n}\\\end{matrix}}$

або, в матричних позначеннях Y = AX, де через X, Y позначено стовпці з координат векторів x та y.

Матриця A називається матрицею відображення (оператора) A.

При фіксованому базисі існує взаємнооднозначна відповідність між лінійними операторами $A:V\to T$ і матрицями A розмірності m x n.

Сума і добуток лінійних перетворень

1) $A:V\to T;\ \ B:V\to T$

$A+B:V\to T$

$(A+B)x=Ax+Bx$

Якщо A задається матрицею A, B задається матрицею B, то A + B задається матрицею A + B.

2) $A:V\to T;\ \ B:T\to S$

$(AB)x=A(Bx)$

Нехай y = Bx, z = Ay; X, Y, Z - стовпчики координат векторів x, y, z у відповідних базисах, тоді: нехай A - матриця оператора A, B - матриця оператора B, C - матриця оператора AB. Тоді Z = CX; з другого боку маємо: $Z=AY,\ Y=BX\Rightarrow Z=ABX$, тобто матриця добутку операторів дорівнює добутку матриць.

Наслідок. Нехай $A:V\to V;\ \ B:V\to V,\ dim\ V=n$. Операції додавання і множення лінійних операторів в просторі V мають тіж самі властивості, як і додавання і множення матриць розмірності n x n. Отже, лінійні оператори простору $V_{n}$ утворюють лінійний простір.

Зв’язок між матрицями лінійних відображень та операторів у різних базисах.

Нехай в просторах V і T базиси $e_{1},e_{2},\dots ,e_{n}$ і $f_{1},f_{2},\dots ,f_{m}$ замінені на $e'_{1},e'_{2},\dots ,e'_{n}$ і $f'_{1},f'_{2},\dots ,f'_{m}$. Відповідні цим замінам матриці перетворення координат позначимо через C і B; стовпчики з координат векторів x та y = A(x) в старих (початкових) базисах позначимо через X та Y, в нових (перетворених) базисах - через X' та Y' відповідно.

Тоді Y = AX; X = CX'; Y = BY', отже, $Y'=B^{-1}Y$. Таким чином:

$Y'=B^{-1}Y=B^{-1}AX=B^{-1}ACX'$

Тому матрицею оператора A в нових базисах є матриця $B^{-1}AC$

Якщо V = T, тобто $A:V\to V$, то при заміні базиса в V матриця A оператора A змінюється таким чином: $C^{-1}AC$.

Власні числа та власні вектори лінійного оператора.

Нехай $L$ — лінійний простір над полем $K$, $A:L\to L$ — лінійне відображення.

Власним вектором лінійного перетворення $A$ називається такий ненульовий вектор $x\in L$, що для деякого $\lambda \in K$

$Ax=\lambda x$.

Власним числом лінійного перетворення $A$ називається таке число $\lambda \in K$, для якого існує власний вектор, тобто рівняння $Ax=\lambda x$ має ненульовий розв'язок $x\in L$.

Достатня умова існування базису, в якому матриця лінійного оператора є діагональною..

Лінійний оператор fi є діагоналізовним, якщо існує такий базис, в якому матриця цього оператора має діагональний вигляд.

Оператор fi визначений на векторному просторi V називається напiвпростим, якщо з його власних векторiв можна побудувати базис цього простору.

ТЕОРЕМА. Лінійний оператор fi є діагоналізовним (напівпростим) тоді і тільки тоді, коли існує базис простору, що складається з власних векторів цього оператора.

ДОВЕДЕННЯ. <=. a1..an - базис простору, що складається з власних векторів лінійного оператора fi. Тоді fi(a1)=lambda1*a1, ... fi(an)=lambdan*an. Випишемо координати. Для 1 рівняння (lambda1, 0,...0). Для 2 - (0, lambda2, ... 0) і т.д. Виписавши, отримаємо діагональну матрицю.

=> Маємо діагональну матрицю (див. вище). Випишемо рівняння з матриці: fi(a1)=lambda1*a1+0*a2+...+0*an=lambda*a1. Отже, а1 - власний вектор оператора fi. Аналогічно - решта векторів. a1..an - базис, що складається з власних векторів.

НАСЛІДОК. Якщо у лінійного оператора fi всі власні значення різні, тоді fi - діагоналізовний.

Евклідів векторний простір, унітарний векторний простір. Нерівність Коші-Буняковського. Довжина вектора, кут між векторами. Ортонормований базис, процес ортогоналізації

http://usic.org.ua/~hitmax/Derzh/questions/LA/10.%20LA.%20evklidiv_prostir.txt

Розглядаємо лише векторні простори над числовими полями, тобто підполями комплексних чисел FсC:

Нехай Vn- n-вимірний векторний простір над полем дійсних чисел R.

Означення 1. - n-вимірний векторний простір Vn над полем дійсних чисел R називається евклідовим, якщо кожній парі векторів x,y з Vn , взятих в певному порядку, поставлено у відповідність деяке дійсне число, яке називається скалярним добутком (x,y) векторів x,y , що має такі властивості:

• А1. (x,y)=(y,x)
• А2. (ax,y)=a(x,y)
• А3. (x+z,y)=(x,y)+(z,y)
• А4. (x,x)>0 при x<>0 , (x,x)=0 при x=0.

Означення 2. - n-вимірний векторний простір V_n над полем комплексних чисел C називається унітарним, якщо кожній парі векторів x,y з V_n , взятих в певному порядку, поставлено у відповідність деяке !комплексне! число, яке називається скалярним добутком (x,y) векторів x,y, що має такі властивості:

• А1. $(x,y)={\overline {(y,x)}}$
• А2. (ax, y)=a(x,y)
• А3. (x+z,y)=(x,y)+(z,y)
• А4. (x,x)>0 при x<>0 , (x,x)=0 при x=0.

Тут через ${\bar {a}}$ позначено число, комплексно спряжене до a.

Нерівність Коші-Буняковського.

Для будь-яких двох векторів унітарного простору має місце нерівність ${\left|(a,b)\right|}^{2}\leq (a,a)(b,b)$

Рівність досягається тоді і тільки тоді, коли вектори a та b лінійно залежні.

Доведення. Якщо b=0,то ліва і права частини нерівності |(a,b)|^2<=(a,a)(b,b) дорівнюють нулю, отже вона виконується. Нехай b<>0. За аксіомою А4 для будь-якого числа lambda маємо: $(a-\lambda *b,a-\lambda *b)\geq 0$ (3)

звідки, перемножаючи, одержимо: 

$(a,a)-{\overline {\lambda }}(a,b)-\lambda {\overline {(a,b)}}+\lambda *{\overline {\lambda }}(b,b)\geq 0$

Підставимо в останню нерівність замість λ число (a,b)/(b,b) і домножимо всі члени нерівності на додатнє число (b,b). В результаті одержимо

$(a,a)(b,b)-{\overline {(a,b)}}(a,b)-(a,b){\overline {(a,b)}}+(a,b){\overline {(a,b)}}\geq 0$

або

$(a,b){\overline {(a,b)}}\leq (a,a)(b,b)$

${\left|(a,b)\right|}^{2}\leq (a,a)(b,b)$

Нерівність доведено.

Означення. Довжиною (модулем) вектора a Є Vn називається число |a|=sqrt((a,a)). Розглянемо дійсний евклідів простір Vn. Кожній парі векторів x,y з Vn, поставимо у відповідність дійсне число (a,b)/(|a|*|b|) . За нерівностю Коші-Буняковського, |(a,b)/(|a|*|b|)|<=1, отже ми можемо визначити кут alpha між двома векторами таким чином: cos alpha = (a,b)/(|a|*|b|).

Два вектори називаються ортогональними, якщо (a,b)=0.

Довжина вектора і ортогональність векторів в унітарному просторі вводяться так само, як в евклідовому.

Означення. Ортонормованим базисом n-вимірного унітарного (евклідового) векторного простору називатимемо сукупність векторів e1,e2,e3...,en , що задовольтняють умовам:

         __ 

| 1, i=k (ei,ek)=<

	   |_0, i<>k 
Означення коректно, оскільки e1,e2,e3...,en - лінійно-незалежні.         

Іншими словами, базис e1,e2,e3...,en називається ортонормованим, якщо він ортогональний, і довжина кожного вектора базису дорівнює 1, тобто для будь-якого i Є {1..n} sqrt((ei,ei))=1

Процес ортогоналізації. Нехай Vn - n-вимірний евлідів векторний простір над полем дійсних чисел R. b1,b2,...bn - деяка лінійно незалежна система векторів. Побудуємо ортогональну систему векторів a1,a2,a3...ak так, щоб кожен з векторів був лінійною комбінацією векторів b1,b2,...,bk. Виберемо a1=b1, a2=b2+ ((b2,a1)/(a1,a1))*a1, a3=b3 - ((b3,a1)/(a1,a1))*a1 - ((b3,a2)/(a2,a2))*a2, ..... ak=bk - ((bk,a1)/(a1,a1))*a1 - ... - - ((bk,ak-1)/(ak-1,ak-1))*ak-1

Вектори a1,a2..an є лінійними комбінаціями векторів b1,b2,...bn . Легко перевірити, що a1,a2..an взаємно ортогональні.

Зауваження.  Якшо система векторів b1,b2,...bn є лінійно залежна, то в процесі ортогоналізації можуть з’являтися  нульові вектори ar=0, які ми просто відкидаємо, і продовжуємо процес далі.

Лінійні оператори в Евклідовому та унітарному просторі: Поняття спряженого оператора, його властивості. Ортогональні та унітарні оператори, їх властивості.

Для будь-якого оператора φ в унітарному евклідовому просторі V існує єдиний оператор φ* , такий що для будь-якого u,v є V (φ(u),v)=(u,φ*(v)). φ* - називається спряженим.

Властивості: (φ*)* = φ; (φ + σ)* = φ* + σ*; (φ 0 σ)* = σ* 0 φ*:

Означення. Оператор φ у евклідовому(унітарному) просторі V наз. ортогональним(унітарним), якщо він зберігає скалярний добуток, тобто має місце: для будь-якого v,w є V (φ(v),φ(w))=(v,w).

Теорема. Оператор φ в унітарному(евклідовому) просторі V є унітарним (ортогональним), тоді і тільки тоді, коли існує ортонормований базис e1,e2..en такий, що його образ - сукупність векторів φ(e1),φ(e2),...φ(en), утворюють ортонормований базис також.

Для ортогонального(унітарного) оператора φ має місце: φ 0 φ* = φ* 0 φ = Id (Id(v)=v)

тобто оператор обернений до φ збігається зі спряженим:

φ^(-1)=φ*

Основна теорема про нормальні оператори в унітарному просторі.

Оператор phi є End_f(V) наз. нормальним якщо він комутує зі своїм спряженим, тобто має місце: φ 0 φ*=φ* 0 φ.

Ортогональні(унітарні) та самоспряжені оператори в евклідовому(унітарному) просторі є очевидно прикладами нормальних операторів.

                                                                  ______ 

Теорема. Якшо λ -власне число нормального оператора φ, то λ -спряжене до нього буде власним числом спряженого оператора φ*.

Основна теорема: Для будь-якого нормального оператора в унітарному просторі існує ортогональний базис простору,що складається з власних векторів цього оператора, зокрема нормальний оператор є напівпростим

Доведення. Дов. методом мат. індукці по розмірності унітарного векторного простору V.

База індукції dim V=1 є очевидною.

Індукційний крок. Оскільки будь-який многочлен(зокрема характеристичний) над полем комплексних чисел має корінь, то оператор φ має одновимірний інваріантний підпростір U, що відноситься до власного числа λ є C. Нехай U`` - ортогональне доповнення, тоді

V=U XOR U``,

при цьому, підпростір U`` є інваріантним при дії спряженого оператора φ*. З іншого боку оператор φ* (як і φ) є нормальним і U є власним підпростором і для спряженого оператора φ*, але тоді ортогональне доповнення U`` буде інваріантним підпростором і для оператора (φ*)*=φ.

Отже, підпростір U`` є інваріантним при дії оператора φ. За припущенням індукції, в ньому існує базис з власних векторів оператора φ, додавши довільний ненульовий вектор з підпростору U, отримуємо потрібний базис всього простору.

http://usic.org.ua/~hitmax/Derzh/questions/LA/12.LA.%20normalni_operatory.txt

Класифікація ортогональних операторів в дійсному евклідовому векторному просторі.

1. Класифікація ортогональних операторів в дійсному евклідовому векторному просторі. Для будь-якого нормального оператора в дійсному евклідовому просторі існує ортогональний базис, в якому матриця оператора має вигляд:

   _                                                                      _
   |  r1 cosa1 r1 sina1     0        0     ..    0       0       0  0  . 0 |
   | -r1 sina1 r1 cosa1     0        0     ..    0       0       0  0  . 0 |
   |     0        0      r2 cosa2 r2 sina2 ..    0       0       0  0  . 0 |
   |     0        0     -r2 sina2 r2 cosa2 ..    0       0       0  0  . 0 |
   |     ..       ..        ..       ..    ..    ..      ..      .. .. . . |
   |     0        0         0        0     ..  rK COSaK rK sinaK 0  0  . 0 |
   |     0        0         0        0     .. -rK sinaK rK COSaK 0  0  . 0 |
   |     0        0         0        0     ..    0       0       s1 0  . 0 |
   |     0        0         0        0     ..    0       0       0  s2 . 0 |
   |     ..       ..        ..       ..    ..    ..      ..      .. .. . . |
   |     0        0         0        0     ..    0       0       0  0  . sl|
   _                                                                       _

де ri >0,sj- дійсні числа, (i=1,2,..,k, j=1,2,..l),та ai Є (0, 2П) - кути поворотів.

http://usic.org.ua/~hitmax/Derzh/questions/LA/13.LA.klasufikacia%20operatoriv.txt

Приведення квадратичної поверхні до головних осей.

Нехай наша квадратична форма задана в деякому ортонормованому базисі e1,e2,…,e3 лінійного простору V. Розглянемо метод вибору такого ортонормованого базиса f = (f1,f2,…,f3), в якому квадратична форма може бути заданою в канонічному вигляді:A (x,x) = lambda1*eta1^2+ lambda2*eta2^2+…+ lambda_n*eta(_n)^2, (eta1,eta2,…eta(_n)) – координати x в базисі f.

Матриця переходу від ортонормованого базиса до ортонормованого є ортогональною матрицею, тобто Q^(-1) = Q^T При цьому формула набуває вигляд: A’ = Q^(-1)AQ отже матриця A має бути зведена до діагонального виду перетвореннями подібності. Щоб знайти матрицю A’:

• 1).шукаємо власні значення lambda1,lambda2,…,lambdan матриці A;
• 2).виписуємоматрицю A’ =((lambda1 0 … 0)(0 lambda2 … 0)(… … …)(0 0 … lambdan))

Щоб знайти матрицю ортогонального перетворення координат Q, для кожного власного значення lambdai знаходимо множину власних векторів, з якої вибираємо власний вектор довжини 1. Координати цього вектора записуємо у i-й стовпець матриці Q.

Зауваження. Якщо деяке власне значення lambda має кратність k, то простір власних векторів, що відповідають даному власному значенню, має розмірність k. В цьому просторі вибираємо ортонормований базис з k векторів, координати яких записуємо в стовпці матриці Q, що відповідають даному власниму значенню lambda.

Геометрія тривимірного евклідового простору: рівняння прямої на площині та в просторі. Векторний та мішаний добуток векторів.

В декартових координатах кожна пряма визначається рівнянням першого степеня і, навпаки, кожне рівняння першого степеня визначає пряму.

Рівняння виду Ax + By + C = 0 називається загальним або канонічним рівнянням прямої на площині. Якщо пряма задана загальним рівнянням, то її кутовий коефіцієнт визначається за формулою $k=-{\frac {A}{B}}$.

Нагадаємо, що кутовий коефіцієнт є тангенсом кута нахилу прямої до осі Oх, а рівняння y = kx + b називається рівнянням прямої з кутовим коефіцієнтом. Вільний член b в цьому рівнянні дорівнює довжині відрізка, що відтинає на осі Оу дана пряма, рахуючи від початку координат.

Рівняння $y-y_{0}=k(x-x_{0})$ є рівнянням прямої, що проходить через точку $M(x_{0},y_{0})$ і має кутовий коефіцієнт k. Якщо пряма проходить через точки $M_{1}(x_{1},y_{1})$ та $M_{2}(x_{2},y_{2})$, то її кутовий коефіцієнт визначається за формулою $k={\frac {(y_{2}-y_{1})}{(x_{2}-x_{1})}}$.

Рівняння ${\frac {x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}}={\frac {y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}}$ є рівнянням прямої, що проходить через дві точки $M_{1}(x_{1},y_{1})$ та $M_{2}(x_{2},y_{2})$.

Нормальне рівняння прямої. Нехай на площині хОу задана пряма. Проведем через початок координат перпендикуляр до даної прямої і назвемо його нормаллю.

Позначимо через Р точку перетину нормалі з даною прямою і виберемо за додатній напрямок нормалі від точки О до точки Р. Якщо $\alpha$ є полярний кут нормалі, р – довжина відрізка OP, то рівняння даної прямої може бути записано у вигляді $x\cdot \cos \alpha +y\cdot \sin \alpha -p=0$.

Рівняння такого виду називається нормальним.

Якщо дано загальне рівняння прямої Ax + By + C = 0, то, щоб звести його до нормального виду, треба всі члени цього рівняння домножити на нормуючий множник $\mu =\pm {\frac {1}{\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}$. Знак нормуючого множника вибираємо протилежним до знаку вільного члена рівняння, що нормується.

Кожен вектор, що не дорівнює нулю і лежить на даній прямій або на паралельній їй, називається направляючим вектором цієї прямої.

Направляючий вектор довільної прямої в подальшому позначається літерою a, його координати – літерами l, m, n: a = {l; m; n}.

Якщо відома одна точка $M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0})$ прямої і направляючий вектор a = {l; m; n}, то пряма може бути визначена (двома) рівняннями виду:

${\frac {x-x_{0}}{l}}={\frac {y-y_{0}}{m}}={\frac {z-z_{0}}{n}}\qquad \qquad \qquad \qquad (1)$

У такому вигляді рівняння прямої називаються канонічними. Канонічні рівняння прямої, що проходить через дві дані точки $M_{1}(x_{1},y_{1},z_{1})$ і $M_{2}(x_{2},y_{2},z_{2})$, мають вигляд

${\frac {x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}}={\frac {y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}}={\frac {z-z_{1}}{z_{2}-z_{1}}}\qquad \qquad \qquad \qquad (2)$.

Позначимо літерою t кожне з рівних відношень у канонічних рівняннях (1). Звідси

${\begin{cases}x=x_{0}+lt,\\y=y_{0}+mt,\\z=z_{0}+nt\end{cases}}\qquad \qquad \qquad \qquad (3)$

Це – параметричне рівняння прямої, що проходить через точку $M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0})$ у напрямку вектора a = {l;m;n}.

В рівняннях t розглядається як довільно змінюючийся параметр, x, y, z – як функції від t; при зміні t величини x, y, z змінюються так, що точка M(X,Y,Z) рухається по заданій прямій.

Якщо параметр t розглядати як змінний час, а рівняння (3) як рівняння руху точки М, то ці рівняння будуть визначати прямолінійний і рівномірний рух точки М. При t = 0 точка М співпадає з точкою $M_{0}$. Швидкість v точки М постійна і визначається формулою $v={\sqrt {l^{2}+m^{2}+n^{2}}}$.

Векторним добутком вектора a на вектор b називається вектор, що позначається символами [ab] і визначається наступними трьома умовами:

1. модуль вектора [ab] дорівнює $|a|\cdot |b|\sin \varphi$, де $\varphi$ – кут між векторами a і b;
2. вектор [ab] перпендикулярний до кожного з векторів a i b;
3. напрямок вектора [ab] відповідає правилу "правої руки". Це означає, що якщо вектори a, b і [ab] зведені до загального початку, то вектор

[ab] має бути спрямованим так, як спрямований середній палець правої руки, великий палець якої спрямований за першим співмножником (тобто за вектором a), а вказівний – за другим (тобто за вектором b).

Векторний добуток залежить від порядку співмножників, а саме: [ab] = -[ba].

Модуль векторного добутку [ab] дорівнює площі паралелограма, побудованого на векторах a і b: |[ab]| = S.

Сам векторний добуток може виражатися формулою [ab] = Se, де е – орт векторного добутку.

Векторний добуток [ab] дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли вектори a і b колінеарні. Зокрема [аа] = 0.

Якщо система координатних осей права і вектори a i b задані в цій системі своїми координатами: $a=\{X_{1};Y_{1};Z_{1}\},\ b=\{X_{2};Y_{2};Z_{2}\}$, то векторний добуток вектора a на вектор b визначається за формулою

$[ab]={\Bigg \{}{\begin{vmatrix}Y_{1}&Z_{1}\\Y_{2}&Z_{2}\end{vmatrix}};-{\begin{vmatrix}X_{1}&Z_{1}\\X_{2}&Z_{2}\end{vmatrix}};{\begin{vmatrix}X_{1}&Y_{1}\\X_{2}&Y_{2}\end{vmatrix}}{\Bigg \}}$ або $[ab]={\begin{vmatrix}i&j&k\\X_{1}&Y_{1}&Z_{1}\\X_{2}&Y_{2}&Z_{2}\end{vmatrix}}$

Трійкою векторів називаються три вектори, якщо вказано, який з них вважається першим, який другим і який третім. Трійку векторів записують за порядком нумерації; наприклад, запис a, b, c означає, що вектор a вважається першим, вектор b – другим, с – третім.

Трійка некомпланарних векторів a, b, c називається правою, якщо вектори, що її утворюють, після приведення до загального початку, розташовуються у порядку нумерації аналогічно до того, як розташовуються великий, вказівний та середній пальці правої руки. Якщо вектори a, b, c розташовані аналогічно до того, як розташовані великий, вказівний та середній пальці лівої руки, то трійка цих векторів називається лівою.

Змішаним добутком трьох векторів називається число, яке дорівнює векторному добутку [ab], помноженому скалярно на вектор с, тобто [ab]c.

Справджується тотожність: [ab]c=a[bc]; зважаючи на це, для позначення змішаного добутку [ab]c використовується простіший символ: abc. Таким чином, abc=[ab]c, abc=a[bc].

Змішаний добуток abc дорівнює об'єму паралелепіпеда, побудованого на векторах a, b, c, взятому зі знаком плюс, якщо трійка abc права, зі знаком мінус, якщо ця трійка ліва. Якщо вектори a, b, c компланарні (і тільки в цьому випадку), змішаний добуток abc дорівнює нулю; іншими словами, рівність abc = 0 є необхідною і достатньою умовою компланарності векторів a, b, c.

Якщо вектори a, b, c задані своїми координатами $a=\{X_{1};Y_{1};Z_{1}\},\ b=\{X_{2};Y_{2};Z_{2}\},\ c=\{X_{3};Y_{3};Z_{3}\}$, то змішаний добуток abc визначається формулою

$[abc]={\begin{vmatrix}X_{1}&Y_{1}&Z_{1}\\X_{2}&Y_{2}&Z_{2}\\X_{3}&Y_{3}&Z_{3}\end{vmatrix}}$

Нагадаємо, що система координатних осей вважається правою (разом з тим є правою і трійка векторів i, j, k).

Види рівнянь площини в просторі. Векторний та мішаний добуток векторів.

Проекцією вектора АВ(з рискою) на вісь u називається відрізок A_1B_1, де точка A_1 є проекцією на вісь u точки А, а точка B_1 - проекцією на цю вісь точки В.

Проекція вектора на вісь u позначається |пр_u AB(з рискою)|

Проекція вектора a на вісь u позначається |пр_u a|

Якщо α, β, γ кути, які утворює вектор a з координатними осями, то cos(α), cos(β), cos(γ) називаються напрямляючими косинусами вектора a. Напрямляючі косинуси є координатами одиничного вектора, який має той самий напрямок, що і вектор a. Одиничний вектор, який має той самий напрямок, що і вектор a, називається ортом вектора a і позначається a^0.

Векторний добуток векторів. Векторним добутком вектора a на вектор b називається вектор, що позначається символами [ab] і визначається наступними трьома умовами:

• 1) модуль вектора [ab] дорівнює |a||b|sin(fi), де fi – кут між векторами a і b;
• 2) вектор [ab] перпендикулярний до кожного з векторів a i b;

v3) напрямок вектора [ab] відповідає правилу “правої руки”.

Це означає, що якщо вектори a,b і [ab] зведені до загального початку, то вектор [ab] має бути спрямованим так, як спрямований середній палець правої руки, великий палець якої спрямований за першим співмножником (тобто за вектором а), а вказівний – за другим (тобто за вектором b).

Векторний добуток залежить від порядку співмножників, а саме:[ab]=-[ba]. Модуль векторного добутку[ab] дорівнює площі паралелограма, побудованого на векторах a і b |[ab]|=S. Векторний добуток [ab] дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли вектори a i b колінеарні. Зокрема [aa]=0.

Якщо система координатних осей права і вектори a i b задані в цій системі своїми координатами: a={X_1,Y_1,Z_1}, b={X_2,Y_2,Z_2}, то векторний добуток вектора a на вектор b визначається за формулою: [a,b] = {визначник|(Y_1 Z_1)(Y_2 Z_2)|; - визначник|(X_1 Z_1)(X_2 Z_2)|; визначник|(X_1 Y_1)(X_2 Y_2)|}.

Змішаний добуток трьох векторів. Трійкою векторів називаються три вектори, якщо вказано, який з них вважається першим, який другим і який третім. Трійку векторів записують за порядком нумерації; наприклад, запис a, b, c означає, що вектор a вважається першим, вектор b – другим, с – третім. Векторы называются компланарными, если имеются равные им вектора, параллельные одной плоскости.

Трійка некомпланарних векторів a, b, c називається правою, якщо вектори, що її утворюють, після приведення до загального початку, розташовуються у порядку нумерації аналогічно до того, як розташовуються великий, вказівний та середній пальці правої руки.

Якщо вектори a, b, c розташовані аналогічно до того, як розташовані великий, вказівний та середній пальці лівої руки, то трійка цих векторів називається лівою.

Змішаним добутком трьох векторів називається число, яке дорівнює векторному добутку [ab], помноженому скалярно на вектор c, тобто [ab]c.

Справджується тотожність: [ab]c=a[bc]; зважаючи на це для позначення змішаного добутку [ab]c використовується простіший символ: abc. Таким чином, abc=[ab]c, abc=a[bc].

Змішаний добуток abc дорівнює об’єму паралелепіпеда, побудованого на векторах a, b, c, взятому зі знаком плюс, якщо трійка abc права, зі знаком мінус, якщо ця трійка ліва. Якщо вектори a, b, c компланарні (і тільки в цьому випадку), змішаний добуток abc дорівнює нулю; іншими словами, рівність abc=0 є необхідною і достатньою умовою компланарності векторів a, b, c.

Якщо вектори a, b, c задані своїми координатами a={X_1,Y_1,Z_1}, b={X_2,Y_2,Z_2}, c = {X_3,Y_3,Z_3}, то змішаний добуток abc визначається формулою [abc] = визначник |( X_1,Y_1,Z_1)( X_2,Y_2,Z_2) X_3,Y_3,Z_3|

Рівняння площин. В декартових координатах кожна площина визначається рівнянням першого степеня і кожне рівняння першого степеня визначає площину. Будь-який (не рівний нулю) вектор, перпендикулярний до даної площини, називається її нормальним вектором. Рівняння A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)= 0 визначає площину, яка проходить через точку M_0 (x_0;y_0;z_0) і має нормальний вектор n= {A;B;C}.

Розкриваючи в рівнянні дужки і позначаючи число –Ax_0–By_0–Cz_0 літерою D, представимо його у вигляді Ax+By+Cz+D=0. Це рівняння називається загальним рівнянням площини.

Нормальним рівнянням площини називається її рівняння, записане у вигляді xcos(α)+ycos(β)+zcos(γ)-p=0, де cos(α), cos(β), cos(γ) є направляючими косинусами нормалі площини, р – відстань до площини від початку координат. При обчисленні направляючих косинусів нормалі слід вважати, що вона направлена від початку координат до площини (якщо ж площина проходить через початок координат, то вибір додатнього напрямку нормалі не має значення).

Загальне рівняння площини Ax+By+Cz+D=0 зводиться до нормального вигляду множенням на нормуючий множник, що визначається за формулою mu=+-(1/(sqrt(A^2+B^2+C^2))); знак нормуючого множника береться протилежним знаку вільного члена нормованого рівняння.

Криві другого порядку: означення, властивості.

Еліпс Геометричне місце точок (ГМТ), сума відстаней від яких до двох заданих точок (які називаються фокусами) є сталою величиною, називається еліпсом.

Теорема 1. Для того, щоб точка M(x,y) належала еліпсу , в якого сума відстаней від неї до обох фокусів F_1(c,0) та F_2(-c,0) еліпса дорівнюває 2a+2b, необхідно і достатньо, щоб її координати задовільняли рівняння (x^2)/(a^2)+(y^2)/(b^2) =1, де c^2 = a^2-b^2.

Зауваження. Віддаль від довільної точки еліпса M(x,y) до кожного з фокусів є лінійною функцією абсциси точки : r_1=a+ε*x, r_2=a-ε*x.

З еліпсом пов'язують дві прямі, які наз. директрисами еліпса. Їх рівняння в канонічній системі координат мають вигляд: x = -a/ε і x = a/ε.

Директрису і фокус, які лежать по один бік від центру еліпса вважають відповідними один одному.

Рівняння (x^2)/(a^2)+(y^2)/(b^2) =1 називається канонічним рівнянням еліпса, відповідна система координат називається канонічною.

В канонічній системі координат. І |x|<=a i |y|<=b => еліпс лежить в середині прямокутника зі сторонами 2a і 2b. Точки перетину еліпса з осями канонічної системи координат наз. вершинами еліпса:

Координати вершин: (-a,0), (a,0), (-b,0), (b,0).

Віддалі від початку координат до вершин a і b наз. відповідно великою та малою півосями еліпса. Точки F_1(c,0) та F_2(-c,0), c^2 = a^2-b^2 наз. фокусами еліпса, а відношення ε = c/a<1 - його ексцентриситетом.

Теорема 2. Для того, щоб точка M(x,y) належала еліпсу, необхідно і достатньо, щоб відношення відстаней від т.М до фокуса і до відповідної директриси було сталою величиною, рівною ε = c/a<1.

Гіпербола Геометричне місце точок (ГМТ), абсолютна величина різниці відстаней від яких до двох заданих точок (які називаються фокусами) є сталою величиною, називається гіперболою.

Теорема 1. Для того, щоб точка M(x,y) належала гіперболі, в якої абсолютна величина різниці відстаней від неї до обох фокусів F_1(c,0) та F_2(-c,0) еліпса дорівнюває 2a, необхідно і достатньо, щоб її координати задовільняли рівняння (x^2)/(a^2)-(y^2)/(b^2) =1, де b^2 = c^2-a^2.

Зауваження.Віддаль від довільної точки еліпса M(x,y) до кожного з фокусів : r_1=a+εx, r_2=a-εx. З гіперболою, як і з еліпсом, пов'язують дві прямі, які наз. директрисами. Їх рівняння в канонічній системі координат мають вигляд: x = -a/ε і x = a/ε.

Директрису і фокус, які лежать по один бік від центру вважають відповідними один одному.

Рівняння (x^2)/(a^2)-(y^2)/(b^2) =1 називається канонічним рівнянням гіперболи. В канонічній системі координат c>=a, c>=b => |x|>=a =>гіпербола лежить за межами прямокутника зі сторонами 2a і 2b. Точки перетину гіперболи з віссю Ох канонічної системи координат наз. вершинами гіперболи. Координати вершин: (-a,0), (a,0). Віддалі a від початку координат до вершин наз. дійсною піввіссю, b –уявною піввіссю. Якщо т.M(x,y) належить гіперболі, то (-x,-y) (-x,y) (x,-y) –теж належать=> існують дві осі і центр симетрії.

Ексцентриситет гіперболи: ε = c/a>1.

Теорема 2. Для того, щоб точка M(x,y) належала гіперболі, необхідно і достатньо, щоб відношення відстаней від т.М до фокуса і до відповідної директриси було сталою величиною, рівною ε = c/a>1.

Парабола Геометричне місце точок (ГМТ), для яких відстань від кожної до заданої точки (які називаються фокусами) дорівнює відстані від цієї точки до заданої прямої (яка називається директрисою), називається параболою.

Теорема 1. Для того, щоб точка M(x,y) належала параболі з фокусом F(p/2,0) та директрисою x=-p/2, необхідно і достатньо, щоб її координати задовільняли рівняння y^2= 2px.

Рівняння y^2= 2px називається канонічним рівнянням параболи.

Зведення загального рівняння кривої другого порядку до канонічного виду. Алгебраїчною кривою другого порядку наз. крива Г, рівняння якої в декартовій системі координат має вигляд: Ax^2+2Bxy+Cy^2+2Dx+2Ey+F=0

Теорема 1. Нехай в прямокутній декартовій системі координат (ПДСК) на площині задано рівняння другого порядку виду Ax^2+2Bxy+Cy^2+2Dx+2Ey+F=0. Тоді існує декартова система координат, в якій це рівняння приймає один з наступних 9 канонічних видів:

• (x^2)/(a^2)+(y^2)/(b^2) =1
• (x^2)/(a^2)+(y^2)/(b^2) = - 1
• a^2x^2+c^2y^2=0
• (x^2)/(a^2)-(y^2)/(b^2) =1
• a^2x^2-b^2y^2=0
• y^2= 2px
• y^2 – a^2=0
• y^2 + a^2=0
• y^2=0

У відповідності з цим існує сім класів ліній другого порядку :

• 1) еліпси
• 2) точки (пари уявних прямих, що перетинаються)
• 3) гіперболи
• 4) пари дійсних прямих, що перетинаються
• 5) параболи
• 6) пари паралельних прямих
• 7) прямі

Поле комплексних чисел: означення (побудова); дії над комплексними числами в алгебраїчній та тригонометричній формі; формула Муавра, видобування кореня n-го степеня з комплексного числа; логарифм та експонента комплексного числа, формула Ейлера.

Розширимо поле дійсних чисел таким чином, щоб в одержаному полі ми могли видобувати квадратний корінь з будь-якого, в тому числі і від’ємного числа.

Розглянемо множину впорядкованих пар дійсних чисел (a,b) і введемо на них операції "+" і "*" так, щоб утворилось поле.

Замість (a,b) будемо писати a+ib. Дійсне число a будемо називать дійсною компонентою, дійсне число b - уявною компонентою.

Аксіоми поля комплексних чисел:

AI. Пари a + ib та c + id будемо вважати рівними, якщо a = c, b = d.

AII. Сумою пар a + ib та c + id будемо називати пару (a + c) + i(b + d).

AIII. Добутком пар a + ib та c + id називається пара (ac - bd) + i(ad + bc), тобто (a + ib)(c + id) = (ac - bd) + i(ad - bc).

AІV. Пару a + i0 будемо ототожнювати з дійсним числом a.

З аксіом III, IV випливає:

якщо m - деяке дійсне число, то m(a + ib) = ma + imb.

Перевіримо, що множина пар з визначеними таким чином діями задовольняє умови поля:

Г1. (асоціативність додавання)

Г2. Нейтральний елемент відносно “+”: $0=0+i0$.

Г3. Протилежний елемент до - елемент $-(a+ib)=(-a)+i(-b)=-a-ib$.

Г4. $(a+ib)+(c+id)=(a+c)+i(b+d)=(c+a)+i(d+b)=(c+id)+(a+ib)$ – (комутативність додавання).

В1`. (асоціативність множення).

B2`. Нейтральний елемент відносно множення:

B3` Оберненим елементом до елемента є $(a+ib)$^-1

B0`. $(a+ib)*(c+id)=(ac-bd)+i(ad+bc)=(ca-db)+i(da+cb)=(c+id)(a+ib)$ – комутативність множення.

D1. (дистрибутивність) .

Множина впорядкованих пар a + ib з введеними за допомогою аксіом АІ- АIV на них операціями "+" і "*" утворює поле, яке будемо називати полем комплексних чисел і позначати С.

Спряжені комплексні числа. Комплексні числа $a+ib$ та $a-ib$ називаються спряженими. Якщо $a$ - комплексне число, то ${\bar {a}}$ - його спряжене.

Обчислимо добуток деякого комплексного числа та його спряженого:

$(a+ib)\cdot (a-ib)=(a^{2}+b^{2})+i\cdot 0=a^{2}+b^{2}$.

Отже, добуток двох взаємноспряжених комплексних чисел є число дійсне.

${\frac {(a+ib)}{(c+id)}}=(a+ib)\cdot {\frac {(c-id)}{(c^{2}+d^{2})}}={\frac {(ac+bd)+i(bc-ad)}{(c^{2}+d^{2})}}$

Будь-яке комплексне число задається двома компонентами, отже воно може бути зображене як точка на площині.

Довжина r радіус-вектора точки, що зображує комплексне число z = a + ib, називається модулем числа z і позначається |z|: $r=|z|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$

Властивості: $z\geq 0,|z|=0\Leftrightarrow z=0$.

Величина полярного кута точки, що зображує комплексне число z = a + ib, називається аргументом цього числа і позначається arg z. При цьому додатнім напрямком відліку аргумента комплексного числа вважаємо напрям від додатньої напівосі проти годинникової стрілки.

Зауваження:

1) arg 0 не визначено.

2) arg z визначається не однозначно, а з точністю до $2k\pi$.

$\varphi =argz=\arccos {\frac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}=\arcsin {\frac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$

Комплексне число z повністю визначається своїм модулем r та аргументом $\varphi$.

Якщо задано r та $\varphi$, то z = a + ib, де $a=r\cos \varphi ,b=r\sin \varphi$.

Тригонометричний запис комплексного числа:

$z=r(\cos \varphi +\sin \varphi )$

Множення комплексних чисел в тригонометричній формі.

Нехай $\alpha _{1}=r_{1}(\cos \varphi _{1}+i\sin \varphi _{1})$; $\alpha _{2}=r_{2}(\cos \varphi _{2}+i\sin \varphi _{2})$; тоді $\alpha _{1}\cdot \alpha _{2}=r_{1}\cdot r_{2}(\cos \varphi _{1}+i\sin \varphi _{1})(\cos \varphi _{2}+i\sin \varphi _{2})=r_{1}\cdot r_{2}(\cos(\varphi _{1}+\varphi _{2})+i\sin(\varphi _{1}+\varphi _{2}))$

• Модуль добутку двох комплексних чисел дорівнює добутку модулів;

• Аргумент добутку двох комплексних чисел дорівнює сумі аргументів.

Ці правила поширюються на будь-яку кількість співмножників.

З правила множення комплексних чисел в тригонометричній формі випливає

$(r(\cos \varphi +i\sin \varphi ))^{n}=r^{n}((\cos n\varphi +i\sin n\varphi )$

При r = 1 маємо формулу Муавра:

$(\cos \varphi +i\sin \varphi )^{n}=\cos n\varphi +i\sin n\varphi$

Нехай $\alpha \neq 0$. Дослідимо корінь n-го степеня з $\alpha =r(\cos \varphi +i\sin \varphi )$, де n – деяке натуральне число. Шукаємо $\beta =R(\cos \theta +i\sin \theta )$ таке, що $\beta ^{n}=\alpha$. (Тоді ${\sqrt[{n}]{\alpha }}=\beta$.) Маємо $\beta ^{n}=R^{n}(\cos n\theta +i\sin n\theta )=r(\cos \varphi +i\sin \varphi )=\alpha$, звідки $R={\frac {1}{r^{n}}}$ ‑ арифметичний корінь n-го степеня з дійсного додатнього числа r, $\theta ={\frac {\varphi +2k\pi }{n}}$. Кут $\theta$ визначається неоднозначно, в залежності від значення цілого числа k.

Існує рівно n різних значень кореня n-го степеня з комплексного числа $\alpha \neq 0,\alpha =r(\cos \varphi +i\sin \varphi )$, які обчислюються за формулою

${\sqrt[{n}]{\alpha }}={\frac {1}{r^{n}}}(\cos {\frac {\varphi +2k\pi }{n}}+i\sin {\frac {\varphi +2k\pi }{n}})$

де k пробігає значення 0, 1, ..., n - 1.

У Ейлера вистачило сміливості і фантазії дати розумне означення показникової функції з основою е:

$e^{a+bi}=e^{a}=(\cos b+i\sin b)$

Ця формула не доводиться,оскільки вона є означенням.

Враховуючи, що $\cos b+i\sin b=e^{bi},\ \cos b-i\sin b=e^{-bi}$, маємо формули Ейлера:

$\cos b={\frac {e^{bi}+e^{-bi}}{2}},\ \sin b={\frac {e^{bi}-e^{-bi}}{2i}}$

Безпосереднім наслідком формул Ейлера є показникова форма запису комплексного числа.

$\alpha =r(\cos \varphi +i\sin \varphi )=re^{i\varphi }$,

звідки, враховуючи $\alpha =re^{i\varphi }=e^{\ln r}e^{i\varphi }=e^{\ln r+i\varphi }$, маємо

$\ln \alpha =\ln r+i\varphi$

Системи лінійних рівнянь: еквівалентність, сумісність,визначеність. Метод Жордана – Гауса. Теорема Кронекера – Капеллі.

Загальний вигляд системи лінійних рівнянь:

${\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\dots +a_{1n}x_{n}=b_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\dots +a_{2n}x_{n}=b_{2}\\\qquad \qquad \qquad \qquad \dots \ \ \dots \ \ \dots \ \ \dots \ \ \dots \qquad \qquad \qquad \qquad (1)\\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\dots +a_{mn}x_{n}=b_{m}\end{matrix}}$

З системою (1) пов’язують дві матриці: основну матрицю (матрицю коефіцієнтів)

$A={\begin{pmatrix}\alpha _{11}&\alpha _{12}&\dots &\alpha _{1n}\\\alpha _{21}&\alpha _{22}&\dots &\alpha _{2n}\\\dots &\dots &\dots &\dots \\\alpha _{m1}&\alpha _{m2}&\dots &\alpha _{mn}\\\end{pmatrix}}$

та розширену

$(A|B)={\begin{pmatrix}\alpha _{11}&\alpha _{12}&\dots &\alpha _{1n}&|&\beta _{1}\\\alpha _{21}&\alpha _{22}&\dots &\alpha _{2n}&|&\beta _{2}\\\dots &\dots &\dots &\dots &|&\dots \\\alpha _{m1}&\alpha _{m2}&\dots &\alpha _{mn}&|&\beta _{m}\\\end{pmatrix}}$

Впорядкована множина n чисел $\lambda _{1},\lambda _{2},\dots ,\lambda _{n}$ називається розв'язком системи (1), якщо при підстановці чисел $\lambda _{1},\lambda _{2},\dots ,\lambda _{n}$ в систему (1) замість $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}$ відповідно одержуємо справедливі рівності.

Система лінійних рівнянь називається сумісною, якщо вона має розв'язок.

Сумісна система лінійних рівнянь називається визначеною, якщо має єдиний розв'язок. Сумісна система лінійних рівнянь, яка має безліч розв'язків, називається невизначеною.

Дві системи називаються еквівалентними, якщо множини їх розв'язків співпадають.

Визначимо елементарні перетворення 1-го, 2-го та 3-го роду системи лінійних рівнянь таким чином:

1) домножити деяке рівняння на число, відмінне від 0.

2) поміняти два рівняння місцями.

3) додати до одного рівняння інше, помножене на деяке число.

Теорема. Елементарні перетворення переводять систему (1) в систему, еквівалентну даній.

Теорема. Будь-яка система (1) за допомогою елементарних перетворень зводиться до східчастого виду.

В якості доведення теореми наведемо алгоритм Гаусса зведення системи до східчастого виду послідовним застосування елементарних перетворень.

1-ий крок. Перевіряємо, чи $\alpha _{11}=0$? Якщо так, то ставимо на перше місце рівняння, в якому коефіцієнт при $x_{1}$ відмінний від 0. Далі вважаємо, що $\alpha _{11}\neq 0$. Далі відніматимемо від i-го рівняння (i = 2, 3, ..., m) перше рівняння, помножене на такий коефіцієнт, щоб після віднімання коефіцієнт при $x_{1}$ став рівним 0 (m - 1 елементарне перетворення 3-го типу).

В результаті віднімання коефіцієнт при $x_{1}$ у 2-му, 3-му і т.д. рівняннях дорівнює 0, тобто ми одержали систему, в якій $x_{1}$ входить лише в перше рівняння. Коефіцієнти нової системи будемо позначати через $\alpha '$.

Після першого кроку може виявитися, що друга невідома також не входить в усі рівняння з номером i > 1. Нехай $x_{k}$ - невідома з найменшим номером, яка входить в деяке рівняння, крім першого. Ми одержали систему

${\begin{matrix}\alpha '_{11}x_{1}&+&\dots &+&\alpha '_{1n}x_{n}&=&\beta _{1}\\&\alpha '_{2k}x_{k}&+&\dots &\alpha '_{2n}x_{n}&=&\beta _{2}\\&\dots &\dots &\dots &\dots &\dots &\dots \\&\alpha '_{mk}x_{k}&+&\dots &\alpha '_{mn}x_{n}&=&\beta _{m}\\\end{matrix}},\qquad k>1,\ \alpha '_{11}\neq 0$

2-ий крок. Перше рівняння залишаємо без змін.

Вважаємо, що $\alpha '_{2k}\neq 0$. Якщо це не так, то змінюючи місцями рівняння та за допомогою заміни невідомих, робимо так, щоб коефіцієнт при $x_{k}$ в другому рівнянні був відмінним від нуля. Далі вважаємо, що $\alpha '_{2k}\neq 0$.

Вилучаємо невідому $x_{k}$ з 3-го, 4-го, ..., m-го рівняння.

3-й крок - аналогічно.

Через скінченне число кроків система (1) набуде вигляду

${\begin{matrix}c_{11}x_{1}&+&\dots &+&c_{1n}x_{n}&=&d_{1}\\&c_{2k}x_{k}&+&\dots &c_{2n}x_{n}&=&d_{2}\\&\dots &\dots &\dots &\dots &\dots &\dots \\&c_{rs}x_{k}&+&\dots &c_{rn}x_{n}&=&d_{r}\\&&&&0&=&d_{r+1}\\&&&&\dots &\dots &\dots \\&&&&0&=&d_{m}\\\end{matrix}}\qquad \qquad \qquad \qquad (2)$

Тут $c_{11},c_{2k},c_{rs}$ відмінні від 0 ($1<k<\dots <s\leq m$).

Теорему доведено.

Про систему виду (2) кажуть, що вона має східчастий вид.

Зауваження. Елементарні перетворення зручно виконувати не над системою лінійних рівнянь, а над її розширеною матрицею.

Рівняння, що йдуть після r-го, можуть бути суперечливими (якщо хоча б одне з чисел $d_{r+1},\dots ,d_{m}$ відмінне від 0). В цьому випадку система (2), а отже і система (1), розв'язку не має.

Невідомі $x_{1},x_{k},\dots ,x_{s}$, з яких починаються 1-е, 2-е, ..., r-те рівняння системи, зведеної до східчастого виду (2), будемо називати головними, а інші, якщо такі є –вільними.

Вираз головних невідомих $x_{1},x_{k},\dots ,x_{s}$ через вільні називається загальним розв'язком системи. Надаючи вільним невідомим деякі конкретні значення, одержуємо частковий розв'язок системи.

Теорема. Сумісна система є визначеною $\Leftrightarrow$ після приведення її до східчастого виду r = n.

Зворотній хід методу Жордана-Гауса.

Щоб одержати вираз головних невідомих $x_{1},x_{k},\dots ,x_{s}$ через вільні, віднімемо від попередніх останнє r-те рівняння, помножене на такий коефіцієнт, щоб після віднімання коефіцієнт при $x_{s}$ став рівним 0. Далі, віднімемо від попередніх передостаннє r-1-е рівняння, помножене на такий коефіцієнт, щоб після віднімання коефіцієнт при відповідному головному невідомому став рівним 0.

Через скінченне число кроків система (1) набуде вигляду

${\begin{matrix}c'_{11}x_{1}&&&=&d_{1}-c'_{1j_{1}}x_{j_{1}}-&\dots -c'_{1s+1}x_{s+1}-&\dots -c'_{1n}x_{n}\\&c'_{2k}x_{k}&&=&d_{2}-c'_{2j_{1}}x_{j_{1}}-&\dots -c'_{2s+1}x_{s+1}-&\dots -c'_{2n}x_{n}\\&\dots &\dots &\dots &\dots &\dots &\dots \\&&c'_{rs}x_{s}&=&d_{r}-c'_{rs+1}x_{s+1}-&\dots -c'_{rn}x_{n}\\\end{matrix}}\qquad \qquad \qquad \qquad (3)$,

де $x_{j_{1}},\dots ,x_{s+1},\dots ,x_{n}$ - вільні невідомі, $c'_{11},c'_{2k},c'_{rs}$ відмінні від 0 ($1<k<\dots <s\leq m$). Розділивши кожне рівняння на відповідні коефіцієнти, одержимо:

${\begin{matrix}x_{1}&=&d''_{1}-c''_{1j_{1}}x_{j_{1}}-&\dots -c''_{1s+1}x_{s+1}-&\dots -c''_{1n}x_{n}\\x_{k}&=&d''_{2}-c''_{2j_{1}}x_{j_{1}}-&\dots -c''_{2s+1}x_{s+1}-&\dots -c''_{2n}x_{n}\\\dots &\dots &\dots &\dots &\dots \\x_{s}&=&d''_{r}-c''_{rs+1}x_{s+1}-&\dots -c''_{rn}x_{n}&\\\end{matrix}}\qquad \qquad \qquad \qquad (4)$

Кількість ненульових рядків матриці після зведення її до східчастого виду будемо називати (рядковим) рангом матриці.

Теорема Кронекера-Капеллі. Система лінійних рівнянь є сумісною тоді і тільки тоді, коли ранг основної матриці системи дорівнює рангу розширеної матриці.

Власні числа та власні вектори лінійного оператора та квадратної матриці.

Задача: Знаходження власних чисел, власних векторів оператора А, що заданий матрицею:

$A={\begin{pmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&\dots &a_{1,n}\\a_{2,1}&a_{2,2}&\dots &a_{2,n}\\\dots &\dots &\dots &\dots \\a_{n,1}&a_{n,2}&\dots &a_{n,n}\end{pmatrix}}$

Розв'язання: Власні числа оператора А є коренями його характеристичного рівняння:

$det(A-\lambda E)=0$

1. Cкладаэмо характеристичне рівняння й знаходимо його дійсні корені $\lambda _{i}$ (серед яких можуть бути й кратні).

2. Для кожного дійсного значення $\lambda _{i}$ знаходимо власні вектори. Для цього записується однорідна система рівнянь:

$(A-\lambda _{i}E)X=0$

та знаходиться його загальне рішення.

3. Виходячи з загальних рішень кожної з однорідних систем, виписуємо власні вектори.

Приклад Розв'язання Задачі

Зведення загального рівняння квадратичної форми до канонічного виду, класифікація кривих другого порядку

Квадратичною формою називається многочлен від n змінних $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}$, в якому повний степінь коженого одночлена дорівнює двом.

Розглянемо методи вибору такого базиса $f=(f_{1},f_{2},\dots ,f_{n})$ в лінійному просторі V, в якому квадратична форма може бути заданою в наступному канонічному вигляді:

$A(x,x)=\lambda _{1}\eta _{1}^{2}+\lambda _{2}\eta _{2}^{2}+\dots +\lambda _{n}\eta _{n}^{2}$,

($\eta _{1},\eta _{2},\dots ,\eta _{n}$) – координати х в базисі f.

Коефіцієнти $\lambda _{1},\lambda _{2},\dots ,\lambda _{n}$ називаються канонічними коефіцієнтами.

Метод Лагранжа

Теорема. Будь-яка квадратична форма А(х,у), що задана в n-вимірному просторі V, за допомогою невиродженого лінійного перетворення координат може бути приведена до канонічного виду.

Теорема доводиться методом Лагранжа. Основна ідея цього методу полягає в послідовному доповненні квадратного тричлена по кожному аргументу до повного квадрату.

Метод Якобі

Перетворення базису $e_{1},e_{2},\dots ,e_{n}$ називається трикутним, якщо воно має вигляд:

$f_{1}=e_{1}$

$f_{2}=\alpha _{21}e_{1}+e_{2}$

$f_{3}=\alpha _{31}e_{1}+\alpha _{32}e_{2}+e_{3}$

$\dots \ \dots \ \dots \ \dots$

$f_{n}=\alpha _{n1}e_{1}+\alpha _{n2}e_{2}+\dots +e_{n}$

Оскільки визначник матриці переходу відмінний від 0, то система векторів $f=(f_{1},f_{2},\dots ,f_{n})$ утворює базис.

Розглянемо кутові мінори матриці А коефіцієнтів форми А(х,х) в базисі $e_{1},e_{2},\dots ,e_{n}$:

$\Delta _{1}=\alpha _{11},\ \Delta _{2}={\begin{vmatrix}\alpha _{11}&\alpha _{12}\\\alpha _{21}&\alpha _{22}\end{vmatrix}},\ \dots ,\ \Delta _{n-1}={\begin{vmatrix}\alpha _{11}&\dots &\alpha _{1n-1}\\\dots &\dots &\dots \\\alpha _{n-11}&\dots &\alpha _{n-1n-1}\end{vmatrix}},\ \Delta _{n}=|A|$.

Теорема. Нехай мінори $\Delta _{1},\Delta _{2},\dots ,\Delta _{n-1}$ матриці А коефіцієнтів форми А(х,х) відмінні від 0. Тоді існує єдине трикутне перетворення координат, за допомогою якого форму А(х,х) можна привести до канонічного виду. При цьому канонічні коефіцієнти обчислюються за формулами:

$\lambda _{1}=\Delta _{1},\ \lambda _{2}={\frac {\Delta _{2}}{\Delta _{1}}},\ \dots ,\ \lambda _{n}={\frac {\Delta _{n}}{\Delta _{n-1}}}$

Векторний (лінійний) простір, лінійна залежність і лінійна незалежність векторів, базис, розмірність, координати вектора в різних базисах. Лінійний підпростір, способи його задання. Сума і перетин лінійних підпросторів .

див. інше питання про векторний простір

Кількість векторів в базисі векторного простору називається розмірністю.

Нехай $b=\lambda _{1}\cdot a_{1}+\dots +\lambda _{n}\cdot a_{n}$ - подання вектора b як лінійної комбінації векторів базиса $a_{1},\dots ,a_{n}$. Коефіцієнти $\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}$ називаються координатами вектора b в базисі $a_{1},\dots ,a_{n}$.

Зауваження. Координати вектора b залежать від вибору базису.

Підпростором Р n-вимірного простору S називається множина векторів, що утворюють векторний простір відносно дій, що визначені в S. Інакше кажучи, підпростір є множиною векторів, що містить разом із будь-якою скінченною множиною векторів усі їхні лінійні комбінації. Підпростір n-вимірного простору є скінченновимірним і його розмірність не перевищує n.

У будь-якому просторі S існують два тривіальних підпростори – сам S і підпростір, що складається тільки з нульового вектора. При n > 1 маємо й нетривіальні підпростори. Побудувати їх можна так. Взяти будь-яку скінченну сукупність векторів $u_{1},\dots ,u_{m}$ і залучити до розгляду множину всіх їхніх лінійних комбінацій $c_{1}u_{1}+\dots +c_{m}u_{m}$. Ця множина, очевидно, є підпростором. Його розмірність дорівнює m, якщо $u_{1},\dots ,u_{m}$ лінійно незалежні, і менша за m, якщо вони лінійно залежні. Тому в n-вимірному просторі існують нетривіальні підпростори всіх можливих розмірностей, від 1 до n - 1.

Нехай Р і Q – два підпростори простору S. Їхньою сумою P + Q називається множина векторів x + y при $x\in P$ і $y\in Q$. Зрозуміло, що будь-яка лінійна комбінація векторів з P + Q належить P + Q, так що P + Q є підпростором простору S (що, можливо, збігається з усім S). Далі, перетин $P\cap Q$ підпросторів Р і Q, тобто множина векторів, що належать одночасно Р і Q, є, очевидно, підпростором (що, можливо, складається тільки з нульового вектора).

Зрозуміло, що підпростори Р і Q містяться в P + Q і міститься в будь-якому підпросторі, що містить Р і Q. Інакше кажучи, P + Q є найменшим підпростором, що містить Р і Q. Перетин $P\cap Q$ міститься в Р і Q, і будь-який підпростір, що міститься в Р і Q, міститься й у $P\cap Q$. Це означає, що $P\cap Q$ є найбільшим з-поміж підпросторів, що містяться в Р і Q.

Евклідів векторний простір, унітарний простір: означення скалярного добутку в довільному дійсному або комплексному векторному просторі, довжина вектора, кут між векторами, ортонормований базис.

Векторний простір $V_{n}$ над полем дійсних чисел R називається евклідовим, якщо кожній парі векторів x, y з $V_{n}$, взятих в певному порядку, поставлено у відповідність деяке дійсне число, яке називається скалярним добутком (x, y) векторів x, y, що має такі властивості:

А1. (x, y) = (y, x)

А2. $(\alpha x,y)=\alpha (x,y)$

А3. (x + z, y) = (x, y) + (z, y)

А4. (x, x) > 0 при $x\neq 0$, (x, x) = 0 при x = 0.

Векторний простір $V_{n}$ над полем комплексних чисел С називається унітарним, якщо кожній парі векторів x, y з $V_{n}$, взятих в певному порядку, поставлено у відповідність деяке комплексне число, яке називається скалярним добутком (x, y) векторів x, y, що має такі властивості:

А1. $(x,y)={\bar {(y,x)}}$

А2. $(\alpha x,y)=\alpha (x,y)$

А3. (x + z, y) = (x, y) + (z, y)

А4. (x, x) > 0 при $x\neq 0$, (x, x) = 0 при x = 0.

Тут через ${\bar {\alpha }}$ позначено число, комплексно спряжене до $\alpha$.

Довжиною (модулем) вектора $a\in V_{n}$ називається число $|a|={\sqrt {(a,a)}}$.

Кут $\alpha$ між двома векторами a, b визначається таким чином:

$\cos \alpha ={\frac {(a,b)}{|a|\cdot |b|}}$

Два вектори a, b називаються ортогональними, якщо (a, b) = 0.

Ортонормованим базисом n-вимірного унітарного (евклідового) векторного простору називатимемо сукупність векторів $e_{1},e_{2},\dots ,e_{n}$, що задовольняють умовам:

$(e_{i},e_{k})={\begin{cases}1,i=k\\0,i\neq k\end{cases}}$