Користувач:Knu mechmat/Конвертор Tex2Wiki (черн.)

Урок 6. Оточення типу "теорема"

Диференційованість функцій комплексної змінної

Диференційованість функцій комплексної змінної. Умови Коші--Рімана

^{[усталений термін?]} Нехай Ω — область в C, z₀∈Ω, f :Ω→C. Похідною f в т. z₀ наз. границя $f'(z_{0}){\stackrel {def}{=}}\lim \limits _{z\to z_{0}}{\dfrac {f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}}$, якщо вона існує.

^{[усталений термін?]}Ф-ція f наз. диференційованою в т. z₀, якщо ∃ A∈C: f(z₀+Δz)-f(z₀)=A·Δz+o(Δz).

Аналогічно як для функцій дійсної змінної доводиться наступне твердження.

Шаблон:Statement Функція f — диференційована в т. z₀ ⇒ існує f'(z₀).

Шаблон:Corollary Якщо f — диференційована в т. z₀, то ${\frac {\partial f}{\partial z_{\theta }}}(z_{0}){\stackrel {def}{=}}\lim _{\Delta z\to 0,\ \mathrm {arg} \,(\Delta z)=\theta }{\frac {\Delta f(z_{0})}{\Delta z}}=\lim _{\Delta z\to 0,\ \mathrm {arg} \,(\Delta z)=\theta }{\frac {f'(z_{0})+o(\Delta z)}{\Delta z}}=f'(z_{0})$ для всіх θ∈(-π,π].

Шаблон:Plain theoremНехай Ω — область в C, z₀∈Ω, f(z)=u(x, y)+iv(x, y), z=x+iy∈Ω.

Функція f — диференційована в т. z₀=x₀+iy₀ ⇒

1. функції u та v диференційовані в (x₀, y₀) як функції дійсної змінної;
2. в (x₀, y₀) вик. умови Коші-Рімана:

$\left\{{\begin{array}{ll}{\dfrac {\partial u}{\partial x}}(x_{0},\,y_{0})={\dfrac {\partial v}{\partial y}}(x_{0},\,y_{0}),&\\[3mm]{\dfrac {\partial u}{\partial y}}(x_{0},\,y_{0})=-{\dfrac {\partial v}{\partial x}}(x_{0},\,y_{0}).&\end{array}}\right.$

При цьому

$f'(z_{0})={\frac {\partial u}{\partial x}}(x_{0},\,y_{0})+i{\frac {\partial v}{\partial x}}(x_{0},\,y_{0})={\frac {\partial v}{\partial y}}(x_{0},\,y_{0})-i{\frac {\partial u}{\partial y}}(x_{0},\,y_{0}).$

Підказки

1. НЕ ЧИПАЙТЕ ШРИФТИ!
2. Insert→Structure→...
3. Для означення в преамбулі напишіть "\newtheorem{itiseasy}{ґанок}", а в документі Insert→Environments&rarrInsert Environment... та введіть 'itiseasy'
4. Спробуйте "\stackrel def"
5. Для нумерації вигляду "№ розділу. № підрозділу. № оточення" напишіть '\newtheorem{itiseasy}{ґанок}[section]'
6. Напишіть "\newtheorem{veryeasy}[itiseasy]{ґудзик}", аби 'ґанок' та 'ґудзик' мали спільну нумерацію
7. Спробуйте '\odot_{\substack{\perp \\ \smile \\ \bowtie}\odot'
8. Спробуйте "[text]"
9. Підключіть пакет "enumerate" та спробуйте "[<a>]"
10. Спробуйте Insert→Lists→Cases
11. Для відстані між рядками "\\[-2cm]"
12. Для нумерації формул в преамбулі "\namberwithin{eqaution}{subsectoin}"