Користувач:Knu mechmat/Кратні інтеграли по брусу

Означення та позначення

Розглядаються підмножини R^m та дійсні функції, визначені на цих підмножинах. Простір R^m розглядається як лінійний повний метричний простір з евклідовою відстанню. Означення інтеграла є ще одним узагальненням схеми означення інтеграла Рімана на випадок функції декількох змінних. ^{[усталений термін?]} Прямокутним паралелепіпедом в R^m (або m-мірним інтервалом або брусом) називається множина

$Q=[a_{1},b_{1}]\times [a_{2},b_{2}]\times \ldots \times [a_{m},b_{m}]=\prod _{k=1}^{m}{[a_{k},b_{k}]}=\{{\vec {x}}=(x_{1},\ldots ,x_{m})\in R^{m}|a_{k}\leq x_{k}\leq b_{k},1\leq k\leq m\},\{a_{k},b_{k}\}\subset R,a_{k}<b_{k},1\leq k\leq m.$

^{[усталений термін?]} Діаметром бруса Q називається число

$d(Q):=\mathrm {sup} (\rho ({\vec {x}},{\vec {y}})\;|\;{\vec {x}}\in Q,{\vec {y}}\in Q)={\bigg (}\sum _{k=1}^{m}{b_{k}-a_{k}}^{2}{\bigg )}^{1/2}.$

^{[усталений термін?]} Об'ємом (m-мірним об'ємом) або мірою (m-мірною мірою) бруса Q називається додатнє число

$m(Q):=\prod _{k=1}^{m}{b_{k}-a_{k}}.$

^{[усталений термін?]} Розбиттям бруса Q називається набір брусів

$\lambda =\{Q(v_{1},v_{2},\ldots ,v_{m})\}=\{Q(v_{1},v_{2},\ldots ,v_{m})\;|\;0\leq v_{k}\leq n_{k}-1,\;1\leq k\leq m\}.$

^{[усталений термін?]} Діаметром або розміром розбиття λ називається число

$|\lambda |=max\{d(Q(v_{1},v_{2},\ldots ,v_{m}))\;|\;0\leq v_{k}\leq n_{k}-1,\;1\leq k\leq m\}.$

Суми Дарбу та їх властивості

Нехай Q — брус, функція f : Q → R  — обмежена на Q. Нехай λ = {Q(v₁,v₂,…,v_m)} — деяке розбиття бруса Q. ^{[усталений термін?]} Нижньою сумою Дарбу для функції f та розбиття λ називається сума

$L(f;\lambda )\,=\sum _{(v_{1},v_{2},\ldots ,v_{m})\in w(\lambda )}\inf _{Q(v_{1},v_{2},\ldots ,v_{m})}f\cdot m(Q(v_{1},v_{2},\ldots ,v_{m})).$

^{[усталений термін?]} Верхньою сумою Дарбу для функції f та розбиття λ називається сума

$U(f;\lambda )\,=\sum _{(v_{1},v_{2},\ldots ,v_{m})\in w(\lambda )}\sup _{Q(v_{1},v_{2},\ldots ,v_{m})}f\cdot m(Q(v_{1},v_{2},\ldots ,v_{m})).$

^{[усталений термін?]} Нехай $\forall (v_{1},v_{2},\ldots ,v_{m})\in w(\lambda ):\;{\vec {\xi }}(v_{1},v_{2},\ldots ,v_{m})\in Q(v_{1},v_{2},\ldots ,v_{m}).$ Набір точок $\{{\vec {\xi }}(v_{1},v_{2},\ldots ,v_{m})\}=\{{\vec {\xi }}(v_{1},v_{2},\ldots ,v_{m})\,|\,(v_{1},v_{2},\ldots ,v_{m})\in w(\lambda )\}$ називається набором, відповідним розбиттю λ.

Інтегральною сумою для функції f розбиття λ і відповідного набору $\{{\vec {\xi }}(v_{1},v_{2},\ldots ,v_{m})\}$ називається сума

$S(f;\lambda ,\{{\vec {\xi }}(v_{1},v_{2},\ldots ,v_{m})\})\,:=\sum _{(v_{1},v_{2},\ldots ,v_{m})\in w(\lambda )}f({\vec {\xi }}(v_{1},v_{2},\ldots ,v_{m}))\,\cdot m(Q(v_{1},v_{2},\ldots ,v_{m})).$

Оскільки для будь-якого набору індексів (v₁,v₂,…,v_m) ∈ w(λ) справедливі нерівності

$\inf _{Q}f\leq \inf _{Q(v_{1},v_{2},\ldots ,v_{m})}f\leq f({\vec {\xi }}(v_{1},v_{2},\ldots ,v_{m}))\leq \sup _{Q(v_{1},v_{2},\ldots ,v_{m})}f\leq \sup _{Q}f,$

то, домноживши їх на m(Q(v₁,v₂,…,v_m)) > 0 і просумувавши по всім наборам (v₁,v₂,…,v_m) з w(λ), отримаємо наступну властивість сум: для будь-якого λ і будь-якого набору $\{{\vec {\xi }}(v_{1},v_{2},\ldots ,v_{m})\}$, відповідного розбиттю λ, справедливі нерівності

$\inf _{Q}f\,\cdot m(Q)\leq L(f;\lambda )\leq S(f;\lambda ,\{{\vec {\xi }}(v_{1},v_{2},\ldots ,v_{m})\})\leq U(f;\lambda )\leq \sup _{Q}f\,\cdot m(Q).$

З нерівності випливає, що множини усіх верхніх та нижніх сум Дарбу, відповідних всім можливим розбиттям бруса Q, є обмеженими.

Розбиття λ бруса Q отримане за допомогою розбиттів λ₁, λ₂, … ,λ_m відповідно до відрізків [a₁,b₁], [a₂,b₂], … ,[a_m,b_m]. Розглянемо для кожного із розбиттів λ₁, λ₂, … ,λ_m відповідні їм пірозбиття λ'₁, λ'₂, … ,λ'_m, (які отримані з λ₁, λ₂, … ,λ_m додаванням нових точок). Нехай λ' розбиття бруса, отримане за допомогою розбиттів λ'₁, λ'₂, … ,λ'_m. При цьому кожен брус Q(v₁,v₂,…,v_m) розбиття λ виявиться розбитим на частини-бруси {Q(v₁,v₂,…,v_m/μ₁, μ₂, … ,μ_m)}, які складають розбиття λ'(v₁,v₂,…,v_m) бруса Q(v₁,v₂,…,v_m). Таким чином, маємо λ' = {Q(v₁,v₂,…,v_m/μ₁, μ₂, … ,μ_m) | (μ₁, μ₂, … ,μ_m) ∈ w(λ'(v₁,v₂,…,v_m)), (v₁,v₂,…,v_m) ∈ w(λ)} і наступну рівність

$\sum _{(\mu _{1},\mu _{2},\ldots ,\mu _{m})\,\in w(\lambda '(v_{1},v_{2},\ldots ,v_{m}))}m(Q(v_{1},v_{2},\ldots ,v_{m}/\mu _{1},\mu _{2},\ldots ,\mu _{m}))=m(Q(v_{1},v_{2},\ldots ,v_{m})).$

^{[усталений термін?]} Розбиття λ' бруса Q, отримане вище описаним способом, називається підрозбиттям розбиття λ.

Суми Дарбу, відповідні розбиттю λ і будь-якому його підрозбиттю λ', пов'язані наступними нерівностями

$L(f;\lambda )\leq L(f;\lambda ')\leq U(f;\lambda ')\leq U(f;\lambda ).$

Нехай λ' і λ  — два розбиття бруса Q, отримані за допомогою розбиттів λ'₁, λ'₂, … ,λ'm та λ₁, λ₂, … ,λ_m відповідно до відрізків [a₁,b₁], [a₂,b₂], … ,[a_m,b_m]. Нехай λ_k = λ'_k ∪ λk, 1 ≤ k ≤ m, і нехай λ — розбиття бруса Q, отримане за допомогою λ₁, λ₂, … ,λm. Розбиття λ є підрозбиттям кожного з розбиттів λ', λ. Враховуючи вище описані нерівності, маємо

$L(f;\lambda ')\leq U(f;\lambda '').$

Верхній та нижній інтеграли. Означення кратного інтеграла по брусу

Нехай Q — брус, f : Q → R  — обмежена на Q функція. ^{[усталений термін?]} Нижнім інтегралом від функції f по брусу Q називається число

$J_{*}=\sup _{\lambda }L(f;\lambda ).$

^{[усталений термін?]} Верхнім інтегралом від функції f по брусу Q називається число

$J^{*}=\inf _{\lambda }U(f;\lambda ).$

^{[усталений термін?]} Функція f називається інтегрованою по брусу Q , якщо

$J_{*}=J^{*}$.

^{[усталений термін?]} Для інтегрованої функції f число $J:=J_{*}=J^{*}$ називається m-кратним інтегралом Рімана від функції f по брусу Q.

Шаблон:Denotation m-кратний інтеграл Рімана позначається

• $\int _{Q}f({\vec {x}})\,d{\vec {x}}$
• $\int _{Q}f(x_{1},\ldots ,x_{m})\,dx_{1}\ldots dx_{m}$
• $\int _{a_{1}}^{b_{1}}\int _{a_{2}}^{b_{2}}\ldots \int _{a_{m}}^{b_{m}}f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{m})\,dx_{1}dx_{2}\ldots dx_{m}$

Інтегрованість неперервної функції

Лема. Нехай функція f : Q → R задовольняє для деякого ε > 0 такі умови

$\exists \delta >0\quad \forall \{{\vec {x}},{\vec {y}}\}\subset Q,\;\rho ({\vec {x}},{\vec {y}})<\delta :\;|f({\vec {x}})-f({\vec {y}})|<\varepsilon .$

Тоді

$\forall \lambda ,|\lambda |<\delta :\;U(f;\lambda )-L(f;\lambda )<\varepsilon m(Q).$

Шаблон:Plain theorem Функція f ∈ C(Q) інтегрована по Q.

Шаблон:Plain theorem Нехай f ∈ C(Q). Тоді

$\forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0\quad \forall \lambda ,|\lambda |<\delta \quad \forall \{{\vec {\xi }}(v_{1},v_{2},\ldots ,v_{m})\}:$

${\bigg |}\int _{Q}f({\vec {x}})\,d{\vec {x}}\;-\sum _{(v_{1},v_{2},\ldots ,v_{m})\in w(\lambda )}f({\vec {\xi }}(v_{1},v_{2},\ldots ,v_{m}))m(Q(v_{1},v_{2},\ldots ,v_{m})){\bigg |}<\varepsilon m(Q).$

Наслідок. Нехай f ∈ C(Q), { λ⁽ⁿ⁾ | n ≥ 1 }  — послідовність розбиттів бруса Q, які задовольняють умови |λ⁽ⁿ⁾| → 0, n → ∞. Нехай для кожного натурального n $\{{\vec {\xi }}^{(n)}(v_{1},v_{2},\ldots ,v_{m})\}$  — деякий набір, що відповідає розбиттю λ⁽ⁿ⁾. Тоді

$\lim _{n\to \infty }S(f;\lambda ^{(n)},\{{\vec {\xi }}^{(n)}(v_{1},v_{2},\ldots ,v_{m})\})=\int _{Q}f({\vec {x}})\,d{\vec {x}}.$

Властивості інтеграла від неперервної функції

Шаблон:Plain theorem Для будь-якого c ∈ R.

$\int _{Q}c\,d{\vec {x}}=cm(Q).$

Шаблон:Plain theorem Нехай Q — брус в R^m та Q = Q₁ ∪ Q₂, де Q₁, Q₂  — бруси в R^m, які не мають спільних внутрішніх точок. Нехай f ∈ C(Q). Тоді

$\int _{Q}f({\vec {x}})\,d{\vec {x}}=\int _{Q_{1}}f({\vec {x}})\,d{\vec {x}}+\int _{Q_{2}}f({\vec {x}})\,d{\vec {x}}.$

Шаблон:Plain theorem Нехай f_k ∈ C(Q), c_k ∈ R, k = 1,2. Тоді

$\int _{Q}(c_{1}f_{1}({\vec {x}})+c_{2}f_{2}({\vec {x}}))\,d{\vec {x}}=c_{1}\int _{Q}f_{1}({\vec {x}})\,d{\vec {x}}+c_{2}\int _{Q}f_{2}({\vec {x}})\,d{\vec {x}}.$

Шаблон:Plain theorem Нехай функція f ∈ C(Q). Тоді

$\exists {\vec {\theta }}\in Q:\;\int _{Q}f({\vec {x}})\,d{\vec {x}}=f({\vec {\theta }})m(Q).$

Шаблон:Plain theorem Нехай f ∈ C(Q) і $f({\vec {x}})\geq 0,{\vec {x}}\in Q.$ Тоді

$\int _{Q}f({\vec {x}})\,d{\vec {x}}\geq 0.$

Шаблон:Plain theorem Нехай f_k ∈ C(Q), k = 1,2 і $f_{1}({\vec {x}})\leq f_{2}({\vec {x}}),{\vec {x}}\in Q.$ Тоді

$\int _{Q}f_{1}({\vec {x}})\,d{\vec {x}}\leq \int _{Q}f_{2}({\vec {x}})\,d{\vec {x}}.$

Шаблон:Plain theorem Нехай f ∈ C(Q). Тоді

${\bigg |}\int _{Q}f({\vec {x}})\,d{\vec {x}}{\bigg |}\leq \int _{Q}|f({\vec {x}})|\,d{\vec {x}}.$

Формула приведення m-кратного інтеграла до послідовних однократних

Для обчислення m-кратного інтеграла $\int _{Q}f({\vec {x}})\,d{\vec {x}}$ по брусу Q існує проста формула, що зводить обчислення цього інтеграла до послідовного обчислення однократних інтегралів Рімана.

Нехай m > 1. Для бруса Q = {(x₁,...,x_m) | a_k ≤ x_k ≤ b_k, 1 ≤ k ≤ m} в R^m і кожного k, 1 ≤ k ≤ m, розглянемо також наступний брус Q_k := {(x₁, ... ,x_k - 1,x_k + 1, ... ,x_m) | a_j ≤ x_j ≤ b_j, 1 ≤ j ≤ m, j ≠ k} в R^m - 1, Q_k — проекція бруса Q на гіперплощину x_k = 0.

Лема. Нехай f ∈ C(Q). Тоді для кожного k, 1 ≤ k ≤ m : g_k ∈ C([a_k,b_k]). Шаблон:Plain theorem Нехай f ∈ C(Q). Тоді для будь-якого k, 1 ≤ k ≤ m справедлива така рівність

$\int _{Q}f({\vec {x}})\,d{\vec {x}}=\int _{a_{k}}^{b_{k}}g_{k}(x)\,dx=\int _{a_{k}}^{b_{k}}{\bigg (}\int _{Q_{k}}f(x_{1},\ldots ,x_{k-1},x_{k},x_{k+1},\ldots ,x_{m})\,dx_{1}\ldots dx_{k-1}dx_{k+1}\ldots dx_{m}{\bigg )}\,dx_{k}.$

Наслідок. Нехай f ∈ C(Q). Тоді

$\int _{Q}f({\vec {x}})\,d{\vec {x}}=\int _{a_{m}}^{b_{m}}{\bigg (}\int _{a_{m-1}}^{b_{m-1}}{\bigg (}\ldots {\bigg (}\int _{a_{1}}^{b_{1}}f(x_{1},\ldots ,x_{m})\,dx_{1}{\bigg )}\,dx_{2}\ldots {\bigg )}\,dx_{m-1}{\bigg )}\,dx_{m}.$

Наслідок. Нехай f ∈ C(Q). Тоді для будь-якого k, 1 ≤ k ≤ m справедлива рівність

$\int _{Q}f({\vec {x}})\,d{\vec {x}}=\int _{Q_{k}}{\bigg (}\int _{a_{k}}^{b_{k}}f({\vec {x}})\,dx_{k}{\bigg )}\,dx_{1}\ldots dx_{k-1}dx_{k+1}\ldots dx_{m}.$

Наслідок. Нехай f ∈ C(Q), існує f'_k на Q і f'_k ∈ C(Q). Тоді

$\int _{Q}{\frac {\partial f({\vec {x}})}{\partial x_{k}}}\,d{\vec {x}}=\int _{Q_{k}}f(x_{1},\ldots ,x_{k-1},b_{k},x_{k+1},\ldots ,x_{m})\,\prod _{j\neq k}dx_{j}\;-\;\int _{Q_{k}}f(x_{1},\ldots ,x_{k-1},a_{k},x_{k+1},\ldots ,x_{m})\,\prod _{j\neq k}dx_{j}.$

Формула являє собою певний аналог формули Ньютона-Лейбніца для m-кратного інтеграла. Вона також являється частковим випадком загальної формули Гауса-Остроградського.

Література

• Дороговцев А. Я. Математический анализ. — К. : Факт, 2004. — 560с.