Нехай A ⊂ Rm — компактна вимірна множина,
— фіксований вектор, покладемо
. Нехай функція f ∈ C(B). Нас цікавить випадок, коли функція f не обмежена на В.
{{knu mechmat}}
→ Для
, нехай
Нехай {En | n ≥ 1} — послідовність вимірних відкритих підмножин Rm, що задовольняє умовам
![{\displaystyle \forall n\geq 1:\;E_{n}\ni {\vec {x}}^{0};}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c05faa9f33751464ca832a9a0170398055e3a761)
![{\displaystyle d(E_{n})=\sup _{\{{\vec {x}},{\vec {y}}\}\subset E_{n}}\rho _{m}({\vec {x}},{\vec {y}})\to 0,n\to \infty .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0618d368090d3a76a023a3ab1c23ac9031eed3d)
Такі послідовності існують. Наприклад, умовам 1 і 2 задовольняє наступна послідовність відкритих вимірних шарів
![{\displaystyle E_{n}=B({\vec {x}}^{0},\delta _{n}),\;\delta _{n}>0,\;n\geq 1;\;\delta _{n}\to 0,n\to \infty .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b219fe8f50ea8e336b53139e2073080521710c4)
Кожна із множин A \ En, n ≥ 1, компактна та вимірна. Крім того,
![{\displaystyle \bigcup _{n=1}^{\infty }(A\setminus E_{n})=\bigcup _{n=1}^{\infty }(B\setminus E_{n})=B;\quad \forall n\geq 1:f\in C(A\setminus E_{n}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2e71f7cdfad4632320adc7c2eb6c32b07ba3ea4)
[усталений термін?] Невласним m-кратним інтегралом від функції f по множині А називається границя
.
Шаблон:Denotation
.
[усталений термін?] Якщо границя існує, скінчена і не залежить від вибору послідовності, то невласний інтеграл називають збіжним, в інших випадках — розбіжним.
[усталений термін?] Границя
, якщо вона існує і скінченна, називається головним значенням розбіжного інтеграла.
Шаблон:Denotation
Шаблон:Plain theorem Для того щоб невласний інтеграл від неперервної і невід'ємної на множині В функції f збігався, необхідно і достатньо, щоб для деякої послідовності {Dn | n ≥ 1}, відкритих вимірних множин, що задовольняють умови 1,2 і таких, що Dn+1 ⊂ Dn, n ≥ 1, наступна послідовність була обмежена
![{\displaystyle \int _{A\setminus D_{n}}f({\vec {x}})d{\vec {x}},\;n\geq 1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af9c3657a440dcec4540a1d468f61773c48dd3c6)
[усталений термін?] Невласний інтеграл називається абсолютно збіжним, якщо збігається невласний інтеграл
.
Нехай B ⊂ Rm — необмежена множина, для якого існує послідовність {Dn | n ≥ 1} компактних вимірних множин, яка задовольняє наступні умови
![{\displaystyle \forall n\geq 1:\;D_{n}\subset D_{n+1}\subset B;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5cfff73521df525e95f281eac2cff03118fdbed2)
![{\displaystyle \forall c>0\quad \exists n\geq N:\;(B\cap B({\vec {0}},c))\subset D_{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/661bd7948e95217924965627f79e553c2a24e827)
[усталений термін?] Таку послідовність {Dn | n ≥ 1} називають вичерпною для множини В.
Нехай f ∈ C(B).
[усталений термін?] Невласним інтегралом від функції f по множині В називається границя
.
Шаблон:Denotation
.
[усталений термін?] Невласний інтеграл називається збіжним, якщо границя скінченна і не залежить від вибору вичерпної послідовності {Dn | n ≥ 1}. В інших випадках інтеграл називається розбіжним.
- Дороговцев А. Я. Математический анализ. — К. : Факт, 2004. — 560с.