Користувач:Knu mechmat/Приклади обчислення інтеграла Рімана

Обчислення інтеграла Рімана за означенням

Безпосереднє обчислення визначеного інтеграла, виходячи з його означення (як границя інтегральних сум) зазвичай досить громіздке, однак все ж таки можливе.

{{knu mechmat}} → Обчислимо інтеграл

$\int _{a}^{b}\sin x\,dx.$

Покладемо f(x) = sin x, x ∈ [a, b]. Оскільки f ∈ C([a, b]), то f ∈ R([a, b]), тому для обчислення інтегралу досить знайти границю довільної послідовності інтегральних сум. Розглянемо рівномірне розбиття λ_n відрізку [a, b] на n рівних частин, Δx = (b − a) / n, і запишемо інтегральну суму

${\begin{aligned}S(f,\,\lambda _{n},\,\{c_{i}|\lambda _{n}\})&=\Delta x\sum _{k=1}^{n}\sin(a+k\Delta x)=\\&={\frac {\Delta x}{2\sin {\frac {\Delta x}{2}}}}\sum _{k=1}^{n}2\sin(a+k\Delta x)\sin {\frac {\Delta x}{2}}=\\&={\frac {\Delta x}{2\sin {\frac {\Delta x}{2}}}}\sum _{k=1}^{n}{\Big (}\cos(a+k\Delta x-{\frac {1}{2}}\Delta x)-\cos(a+kh+{\frac {1}{2}}\Delta x){\Big )}=\\&={\frac {\Delta x}{2\sin {\frac {\Delta x}{2}}}}{\Big (}\cos(a+{\frac {1}{2}}\Delta x)-\cos(b+{\frac {1}{2}}\Delta x){\Big )}.\end{aligned}}$

Спрямувавши |λ_n| до нуля, отримаємо, що

${\begin{aligned}\int _{a}^{b}\sin x\,dx&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta x}{2\sin {\frac {\Delta x}{2}}}}{\Big (}\cos(a+{\frac {1}{2}}\Delta x)-\cos(b+{\frac {1}{2}}\Delta x){\Big )}=\\&=\cos b-\cos a.\end{aligned}}$

{{knu mechmat}} → Обчислимо інтеграл

$\int _{0}^{1}e^{x}\,dx.$

Покладемо f(x) = e^x, x ∈ [0, 1]. Оскільки f ∈ C([0, 1]), то f ∈ R([a, b]). Отже, у відповідності з критерієм Дарбу інтегровності функцій

$\int _{0}^{1}f(x)\,dx=\lim _{|\lambda _{n}|\rightarrow 0}s(f;\lambda _{n}),$

де λ_n — рівномірне розбиття відрізка [0, 1] на n рівних частин. Отже, маємо

${\begin{aligned}s(f;\,\lambda _{n})&=\sum _{i=0}^{n-1}e^{\frac {i}{n}}\cdot {\frac {1}{n}}=\\&={\frac {e-1}{e^{\frac {1}{n}}-1}}\cdot {\frac {1}{n}},\end{aligned}}$

звідки випливає, що

${\begin{aligned}\int _{0}^{1}f(x)\,dx&=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {e-1}{e^{\frac {1}{n}}-1}}\cdot {\frac {1}{n}}=\\&=e-1.\end{aligned}}$

{{неінтегровної обмеженої функції}} → Покажемо, що функція Діріхле

$D(x):={\begin{cases}1,&x\in \mathbb {Q} \\0,&x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} \end{cases}}$

не інтегровна на довільному відрізку [a, b] ⊂ R. Тут Q — це множина раціональних чисел, а R — множина дійсних чисел.

На довільному відрізку [α, β] ⊂ R знайдуться як раціональна, так і ірраціональна точки. Тому при довільному розбитті λ відрізка [a, b] маємо

$s(f,\,\lambda )=0,\qquad S(f,\,\lambda )=b-a,$

звідки у відповідності з критерієм Дарбу інтегровності функції D ∉ R([a, b]).