Користувач:M Gaponenko/Дотична пряма до кола
Дотична до кола- це пряма, що має з колом лише одну спільну точку. Дана точка кола називается точкою дотику .
Дотична до кола перпендикулярна до радіусу, проведеного в точку дотику.
Доведення. Нехай пряма ā дотична до кола, з центром у точці О, точка К- точка дотику.
Доведемо, що пряма ā перпендикулярна до ОК.
Припустимо, що пряма ā не є перпендикулярною до ОК. Проведемо з точки О перпендикуляр ОМ до прямої ā. Оскільки у прямої і кола лише одна спільна точка К, то точка М, що належить прямій ā, лежить поза колом. Тому довжина відрізка ОМ більша за довжину відрізка ОА, який є радіусом кола. Оскільки ОА=ОК (як радіуси), то ОМ>ОК. Але ж, за припущенням, ОМ- катет прямокутного трикутника КОМ, а ОК — його гіпотенуза. Прийшли до протиріччя, адже катет не може бути довшим за гіпотенузу, це суперечить з властивістю прямокутного трикутника. Наше припущення хибне, отже ā перпендикулярна ОК. Теорему доведено.
Наслідок з теореми Відстань від центра кола до дотичної цього кола дорівнює радіусу кола.
Якщо пряма проходить через кінець радіуса, що лежить на колі, і перпендикулярна до цього радіуса, то вона є дотичною.
Доведення. Нехай ОК- радіус кола, з центром у точці О. Пряма ā проходить через точку К так, що ā перпендикулярна ОК.
Доведемо, що ОК- дотична до кола. Припустимо, що пряма ā має з колом ще одну спільну точку, точку М. Тоді ОК=ОМ (як радіуси) і трикутник ОМК- рівнобедрений. Кути ОМК і ОКМ рівні і дорівнюють 90°. Тому сума кутів ОМК і ОКМ дорівнює 180°, що суперечить теоремі про суму кутів трикутника. Отже, наші припущення хибні. Пряма ā не має інших спільних точок колом окрім точки К. Тому пряма а дотична до кола.
Відрізки дотичних, проведених з однієї точки до кола, рівні між собою.
Якщо два кола, які мають спільну точку, мають у ній спільну дотичну, кажуть, що ці кола дотикаються. Дотик кіл називають внутрішнім, якщо центри кіл лежать по один бік від їх спільної дотичної, і зовнішнім, якщо центри кіл лежать по різні боки від спільної дотичної.
1.Якщо до кола проведено дві дотичні з однієї точки, то відрізок, що з'єднує цю точку з центром кола, поділяє кут між дотичними навпіл. 2.Радіуси кіл, що дотикаються, проведені в точку дотику, лежать на одній прямій — лінії центрів. 3.Якщо кола дотикаються зовнішньо, то відстань між центрами цих кіл дорівнює сумі їх радіусів. Якщо кола дотикаються внутрішньо, то відстань між центрами цих кіл дорівнює різниці їх радіусів. 4.Типові побудови для розв'язування задач
Задача. Через задану точку А провести пряму, дотичну до заданого кола з центром у точці О. Розв'язок. Можливі три випадки.
1.Точка А знаходиться всередині кола. Тоді будь-яка пряма, що проходить через точку А, буде перетинати коло в двох точках. Дотична не існує.
2.Точка А лежить на колі. Проведемо радіус ОА. Через точку А проведемо пряму ā, перпендикулярну ОА. Вона єдина і дотична (за теоремою 1). Ця дотична єдина і задача має один розв'язок.
3. Точка А лежить поза коза колом, тоді до кола можна провести дві дотичні.
- Айрис-пресс: Конспект лекций по высшей математики. Письменный Д., 2005. — С.64.