![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/7e/Essay.svg/28px-Essay.svg.png) |
Це — особиста чернетка користувача Mkwan12. |
- область в евклідовому просторі
Якщо функція
, то очевидно
приймає значення на межі
, яке будемо позначати
. Виникає питання: чи можна визначити коректно значення на межі
для довільної функції
(така функція не є неперервною та визначається з точністю до міри нуль, а міра Лебега множини
дорівнює нулю).
Нехай
- обмежена область і
є
. Тоді існує такий лінійний оператор
, що:
1)
, якщо
;
2)
.
Оператор
визначенній у теоремі, назазивається оператором сліду, а
- слідом функції на межі
.
1. Припустимо спочатку, що
і межа області
є плоскою в деякому околі точки
, тобто існує таке число
, що
.
Позначимо
Виберемо функцію
таку, що
на
і
на
. Позначимо
i
. Застосовуючи нерівність Юнга, виводимо
(*)
2. Якщо межа не є плоскою в околі
точки
, то розпрямляючи межу за допомогою вектор-відображення
i застосувавши (*) виводимо нерівність
де
.
3.Оскільки
- компакт, то існує скінченне число точок
і відкритих множин
, які містять
і
та
.
Підсумовуючи останні нерівності за
отримаємо нерівність
Для довільної функції
визначемо оператор
. Очевидно, що він є лінійним і
(**)
4. Тепер розглянемо довільну функцію
. Існує послідовність
така, що
в
при
Для кожної функції
визначена функція
і має місце нерівнічть (**). Тоді
.
Отже,
- фундаментальна послідовність у
. Границею цієї послідовності позначимо через
, тобто
. Очевидно, що дана границя не залежить від вибору апроксимуючої послідовності. Перейшовши до границі в нерівності
при
, отримаємо
.
Т.А. Мельник "Простори соболєва та узагальнені розв'язки задач математичной фізики"