1. Перетворення Фур'є для добутку :
.
Дійсно, з точністю до константи
.
2. Матриця переходу у сферичній системі координат:
.
3. Сферично симетричний електростатичний потенціал:
.
Дійсно, якщо напрямити вектор по осі z, то в сферичній системі координат між цим вектором та вектором буде полярний кут . Тоді, з урахуванням радіальної залежності густини (з незалежністю від інших змінних), загальний вираз для електростатичного потенціалу набуває вигляду
.
4. Лапласіан від поліному Лежандра з аргументом :
.
5. Векторний добуток у сферичних координатах.
.
Нехай функцію можна представити у наступному вигляді:
,
де - остаточний член.
Відповідно до , можна ввести функцію :
.
Якщо прийняти
та ввести допоміжну функцію
,
то
.
Далі, оскільки
1. неперервні на відрізку , тому також наперервна на цьому відрізку,
2. диференціюється до на інтервалі , тому диференціюється на цьому інтервалі,
3. ,
то, згідно з теоремою Ролля, є така точка , що :
.
Тоді прийме вигляд:
,
який і є виразом формули Тейлора для функції .
Нехай є інтеграл виду
.
Він рівен
.
Вірність цього результату можна довести, використовуючи наступне.
1. Є інтеграл виду
Тоді
.
При виконується також наступна рівність:
.
Тоді
.
Якщо зробити заміну , то
.
Наступна заміна - . Тоді, при , можна отримати:
Тоді .
Замість можна покласти , тоді інтеграл зведеться до .