Користувач:NAME XXX/Теорія відносності

Деякі кінематичні ефекти як наслідок перетворень Лоренца

Ефект Доплера

Ефект Доплера.  

Нехай до нерухомого спостерігача посилаються електромагнітні хвилі від годинника-установки, що рухається зі швидкістю $\ \mathbf {u}$. Нерухомому спотерігачеві відповідає ІСВ S. Тоді інший спостерігач, що також відповідає ІСВ S, але знаходиться поруч з годинником-установкою. Нехай під час першого посилання установка знаходилась від першого спостерігача на відстані $\ R$, а під час другого - на відстані $\ R-L,\quad L=u\Delta t$. Тоді, якщо спостерігач поруч з годинником відмічає, що хвилі надіслані у моменти часу $\ t_{1},t_{2}$, то до спостерігача, приймаючого хвилі, вони доходять у моменти часу

$\ {\tilde {t}}_{1}=t_{1}+{\frac {R}{c}},{\tilde {t}}_{2}=t_{2}+{\frac {R-L}{c}}$.

Отже,

$\ \Delta {\tilde {t}}=t_{2}+{\frac {R-L}{c}}-\left(t_{1}+{\frac {R}{c}}\right)=\Delta t\left(1-{\frac {u}{c}}\right)$.

Враховуючи релятивистське сповільнення часу, $\ \Delta t'=\Delta t{\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}$, останній вираз може бути переписаний як

$\ \Delta {\tilde {t}}=\Delta t'{\frac {\left(1-{\frac {u}{c}}\right)}{\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}}\qquad (.1)$.

Ввівши частоти випромінювання, $\ \nu _{0}={\frac {1}{\Delta t'}},\nu ={\frac {1}{\Delta {\tilde {t}}}}$, $\ (.1)$ можна звести до вигляду

$\ \nu =\nu _{0}{\frac {\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}{\left(1-{\frac {u}{c}}\right)}}$.

Тепер можна розглянути випадки, коли установка-годинник віддаляється від спостерігача, якому надсилаються хвилі, і наближається до нього. Відповідно до цього

$\ {\tilde {t}}_{2}=t_{2}+{\frac {R-L}{c}},{\tilde {t}}_{2}=t_{2}+{\frac {R+L}{c}}$,

а звідси -

$\ \nu =\nu _{0}{\frac {\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}{\left(1-{\frac {u}{c}}\right)}}=\nu _{0}{\sqrt {\frac {1+{\frac {u}{c}}}{1-{\frac {u}{c}}}}}$

і

$\ \nu =\nu _{0}{\frac {\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}{\left(1+{\frac {u}{c}}\right)}}=\nu _{0}{\sqrt {\frac {1-{\frac {u}{c}}}{1+{\frac {u}{c}}}}}$.

У випадку ж, коли установка пролітає над спостерігачем, і можна вважати протягом кототкого проміжку часу, що відносна швидкість рівна нулю, вираз для зміни частоти набуде вигляду

$\ \nu ={\frac {\nu _{0}}{\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}}$.

Отже, у першому випадку вклад у зміну частоти можна описати, за малих швидкостей, у рамках галілеївського закону додавання швидкостей, а у другому - виключно за допомогою релятивістського перетворення Лоренца.

Формули, що відповідають двом випадкам, можна об'єднати в одну. Дійсно, нехай у початковий момент часу відстань від спостерігача до установки була рівна $\ \mathbf {R}$. Тоді після прольоту установкою відстані $\ \mathbf {L} =\mathbf {u} \Delta t$ відстань буде рівна (за великих $\ \mathbf {R}$)

$\ {\sqrt {(\mathbf {R} +\mathbf {L} )^{2}}}\approx {\sqrt {(\mathbf {R} ^{2}+2(\mathbf {R} \cdot \mathbf {u} )\Delta t}}\approx R(1+{\frac {(\mathbf {R} \cdot \mathbf {u} )}{R^{2}}}\Delta t)=R+(\mathbf {n} \cdot \mathbf {u} )\Delta t,\quad \mathbf {n} ={\frac {\mathbf {R} }{R}}$.

Тоді

$\ \Delta {\tilde {t}}=t_{2}+{\frac {R}{c}}+(\mathbf {n} \cdot {\frac {\mathbf {u} }{c}})\Delta t-t_{1}-{\frac {R}{c}}=\Delta t'{\frac {1+{\frac {(\mathbf {n} \cdot \mathbf {u} )}{c^{2}}}}{\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}},\quad \nu =\nu _{0}{\frac {\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}{1+{\frac {(\mathbf {n} \cdot \mathbf {u} )}{c^{2}}}}}\qquad (.2)$.

Формула $\ (.2)$ описує ефект Доплера, суть якого полягає у зміні величини частоти, яка сприймається спостерігачем, при відносному русі спостерігача і джерела випромінювання.

Аберрація

Аберрація.  

Аберація - ефект, аналогічний ефекту Доплера, але проявляється він у зміні видимого положення об'єкта як наслідок кінематичних ефектів. Її можна продемонструвати на прикладі зміщення видимого положення зір.

Нехай у деякій ІСВ S, у якій зоря покоїться, розміщений спостерігач. В напрямі кута $\ \theta$ відносно площини орбіти Землі він бачить зорю. Відносно цього спостерігача, разом із Землею, рухається спостерігач (ІСВ S'). Коли спостерігачі будуть знаходитися в одній точці, другий спостерігач побачить зорю під кутом $\ \theta '$. Виходячи з рисунка, другий спостерігач побачить зорю в т. А, коли вона буде знаходитись у точці B (вона пройде відстань $\ ut$ за той час, поки світло дістанеться до спостерігача з т. А. Також буде змінюватися і кут $\ \theta '$.

Перший спостерігач також бачить зорю у її минулих положеннях, але завжди - під одним і тим самим кутом $\ \theta$. Виходячи з рисунку і враховуючи інваріантність ортогональних до швидкості компонент, очевидно, що

$\ ct'sin(\theta ')=H',ct'cos(\theta ')=ut'+L'\Rightarrow {\frac {sin(\theta ')}{cos(\theta ')-{\frac {u}{c}}}}={\frac {H'}{L'}}={\frac {H}{L{\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}}}={\frac {tg(\theta )}{\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}}\qquad (.3)$.

Використовуючи співвідношення $\ cos(\theta )={\frac {1}{\sqrt {1+tg^{2}(\theta )}}}$ та піднісши $\ (.3)$ до квадрату, вираз можна переписати:

$\ {\frac {sin^{2}(\theta ')}{\left(cos(\theta ')-{\frac {u}{c}}\right)}}=tg^{2}(\theta )\gamma ^{2}+\gamma ^{2}-\gamma ^{2}={\frac {\gamma ^{2}}{cos^{2}(\theta )}}-\gamma ^{2}\Rightarrow cos(\theta )={\frac {1}{\sqrt {{\frac {sin^{2}(\theta ')\left(1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}\right)}{\left(cos(\theta ')-{\frac {u}{c}}\right)^{2}}}+1}}}={\frac {cos(\theta ')-{\frac {u}{c}}}{\sqrt {sin^{2}(\theta ')\left(1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}\right)+cos^{2}(\theta ')-2{\frac {u}{c}}cos(\theta ')+{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}}=$

$\ ={\frac {cos(\theta ')-{\frac {u}{c}}}{\sqrt {1+{\frac {u^{2}}{c^{2}}}(1-sin^{2}(\theta '))-2cos(\theta '){\frac {u}{c}}}}}={\frac {cos(\theta ')-{\frac {u}{c}}}{1-{\frac {u}{c}}cos(\theta ')}}$,

$\ sin(\theta ')={\sqrt {1-cos^{2}(\theta ')}}={\sqrt {1-\left({\frac {cos(\theta ')-{\frac {u}{c}}}{1-{\frac {u}{c}}cos(\theta ')}}\right)^{2}}}={\frac {\sqrt {1-2{\frac {u}{c}}cos(\theta ')+{\frac {u^{2}}{c^{2}}}cos^{2}(\theta ')-cos^{2}(\theta ')+2{\frac {u}{c}}cos(\theta ')-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}{1-{\frac {u}{c}}cos(\theta ')}}=$

$\ ={\frac {\sqrt {\gamma ^{2}-\gamma ^{2}cos^{2}(\theta ')}}{1-{\frac {u}{c}}cos(\theta ')}}={\frac {{\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}sin(\theta ')}{1-{\frac {u}{c}}cos(\theta ')}}$.

Дані вирази можна записати і в векторному вигляді. Дійсно, нехай $\ \mathbf {n}$ - одиничний направляючий вектор від спостерігача S до зорі. Тоді $\ \mathbf {n} '$ - направляючий вектор від спостерігача S' до зорі. Тоді сигнал, що розповсюджується від зорі до спостерігачів, у цих двох ІСВ має швидкості $\ \mathbf {v} =-c\mathbf {n} ,\quad \mathbf {v} '=-c\mathbf {n} '$. Використовуючи векторні перетворення Лоренца для швидкості, можна отримати:

$\ \mathbf {v} '=-c\mathbf {n} ={\frac {-c\mathbf {n} -{\frac {\Gamma }{c}}\mathbf {u} (\mathbf {u} \cdot \mathbf {n} )-\gamma \mathbf {u} }{\gamma \left(1+{\frac {(\mathbf {u} \cdot \mathbf {n} )}{c}}\right)}}\Rightarrow \mathbf {n} '={\frac {\mathbf {n} +{\frac {\Gamma }{c^{2}}}\mathbf {u} (\mathbf {u} \cdot \mathbf {n} )+{\frac {\gamma }{c}}\mathbf {u} }{\gamma \left(1+{\frac {(\mathbf {u} \cdot \mathbf {n} )}{c}}\right)}}\qquad (.4)$.

Звідси можна знайти кут, наприклад, між вектором швидкості і направляючим вектором на об'єкт: для знаходження значення косинуса можна, наприклад, скалярно домножити $\ (.4)$ на $\ \mathbf {v}$.

Можна знайти наближений і спрощений вираз для $\ \mathbf {n} '$ для малих швидкостей $\ \left(\gamma \approx 1,\Gamma \approx {\frac {1}{2}},{\frac {u}{c}}\approx 0\right)$:

$\ \mathbf {n} '={\frac {\mathbf {n} +{\frac {\Gamma }{c^{2}}}\mathbf {u} (\mathbf {u} \cdot \mathbf {n} )+{\frac {\gamma }{c}}\mathbf {u} }{\gamma \left(1+{\frac {(\mathbf {u} \cdot \mathbf {n} )}{c}}\right)}}\approx {\frac {\mathbf {n} +{\frac {1}{c}}\mathbf {u} }{1+{\frac {(\mathbf {u} \cdot \mathbf {n} )}{c}}}}\approx \mathbf {n} +{\frac {\mathbf {u} }{c}}-\mathbf {n} (\mathbf {n} \cdot {\frac {1}{c}}\mathbf {u} )=\mathbf {n} -{\frac {1}{c}}[\mathbf {n} \times [\mathbf {n} \times \mathbf {u} ]]\qquad (.5)$.

$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$

Параллакс

Параллакс.  

При врахуванні того, що Земля рухається навколо Сонця, треба також перетворити значення вектора нормалі $\ \mathbf {n}$. Нехай $\ \mathbf {r} _{0}$ - радіус-вектор від Сонця до зорі, $\ \mathbf {R}$ - радіус-вектор від Землі до Сонця. Тоді модуль відстані від Землі до зорі за таких векторів буде наближено рівен

$\ L={\sqrt {(\mathbf {r} _{0}-\mathbf {R} )^{2}}}\approx {\sqrt {\mathbf {r} _{0}^{2}-2\mathbf {R} \mathbf {r} _{0}}}\approx r_{0}\left(1-(\mathbf {n} _{0}\cdot {\frac {\mathbf {R} }{r_{0}}})\right)=r_{0}(1-(\mathbf {n} _{0}\cdot \mathbf {P} )),\quad \mathbf {n} _{0}={\frac {\mathbf {r} _{0}}{r_{0}}}$,

де $\ \mathbf {P}$ - вектор параллаксу. З урахуванням цієї рівності і без урахування явища аберрації, можна наближено виразити значення вектора нормалі через ці вектори:

$\ \mathbf {n} ={\frac {\mathbf {r} }{r}}\approx {\frac {\mathbf {r} _{0}-\mathbf {R} }{r_{0}(1-(\mathbf {n} _{0}\cdot \mathbf {P} ))}}\approx (\mathbf {n} _{0}-\mathbf {P} )(1+(\mathbf {n} _{0}\cdot \mathbf {P} ))=\mathbf {n} _{0}-\mathbf {P} -\mathbf {P} (\mathbf {n} _{0}\cdot \mathbf {P} )+\mathbf {n} _{0}(\mathbf {n} _{0}\cdot \mathbf {P} )\approx \left|\mathbf {P} (\mathbf {n} _{0}\cdot \mathbf {P} )\approx P^{2}->0\right|=$

$\ =\mathbf {n} _{0}+\mathbf {n} _{0}(\mathbf {n} _{0}\cdot \mathbf {P} )-\mathbf {P} =\left|\mathbf {P} =\mathbf {P} (\mathbf {n} _{0}\cdot \mathbf {n} _{0})\right|=\mathbf {n} _{0}+[\mathbf {n} _{0}\times [\mathbf {n} _{0}\times \mathbf {P} ]]$.

Підставляючи отриманий вираз у $\ (.5)$ і нехтуючи доданками виду $\ [\mathbf {n} _{0}\times \mathbf {P} ]$, можна отримати, що

$\ \mathbf {n} '\approx \mathbf {n} _{0}+[\mathbf {n} _{0}\times [\mathbf {n} _{0}\times \mathbf {P} ]]-\left[\mathbf {n} _{0}\times \left[\mathbf {n} _{0}\times {\frac {\mathbf {u} }{c}}\right]\right]$.$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$

Прискорений рух

Прискорений рух.  

Використовуючи локально-інерціальні системи відліку, можна отримати формальне визначення прискорення через швидкість в рамках релятивістської кінематики. Нехай у момент часу $\ t$ швидкість об'єкта по осі $\ Ox$ мала значення $\ v(t)$ (по іншим осям - нульова), а у момент часу $\ t+dt$ - $\ v(t+dt)$. Це формально відповідає прискоренню цього об'єкта і означає, що в рамках нерелятивістської кінематики приріст швидкості за цей момент часу у власній ІСВ можна виразити як $\ dv=adt=adt'$. Можна уявити, що є дві ІСВ, що мають відносну швидкість $\ adt'$, і записати для об'єкта обернене перетворення Лоренца:

$\ v(t+dt)={\frac {v(t)+adt'}{1+{\frac {v(t)adt'}{c^{2}}}}}\approx (v(t)+adt')\left(1-{\frac {v(t)adt'}{c^{2}}}\right)\approx v(t)-{\frac {v^{2}(t)adt'}{c^{2}}}+adt'\Rightarrow adt'\left(1-{\frac {v^{2}(t)}{c^{2}}}\right)=a{\frac {dt}{\gamma }}\left(1-{\frac {v^{2}(t)}{c^{2}}}\right)=$

$\ =v(t+dt)-v(t)\Rightarrow {\frac {v(t+dt)-v(t)}{dt}}={\frac {dv}{dt}}={\frac {a}{\gamma }}\left(1-{\frac {v^{2}(t)}{c^{2}}}\right)=a\left(1-{\frac {v^{2}(t)}{c^{2}}}\right)^{\frac {3}{2}}\Rightarrow a={\frac {d}{dt}}\left({\frac {v(t)}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}(t)}{c^{2}}}}}}\right)\qquad (.1)$.

Це рівняння можна розв'язати відносно $\ v(t)$. Дійсно, після інтегрування,

$\ at+{\frac {v_{0}}{\sqrt {1-{\frac {v_{0}^{2}}{c^{2}}}}}}=at+const_{1}={\frac {v}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\Rightarrow (at+const_{1})^{2}={\frac {v^{2}}{1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}\Rightarrow v={\frac {const_{1}+at}{\sqrt {1+{\frac {(const_{1}+at)^{2}}{c^{2}}}}}}\qquad (.2)$.

Отримане рівняння, знову ж таки, можна розв'язати, прийнявши до уваги, що $\ v={\frac {dx}{dt}}$, можна отримати:

$\ \int \limits _{0}^{t}vdt=x-x_{0}=\int \limits _{0}^{t}{\frac {(const_{1}+at)dt}{\sqrt {1+{\frac {(const_{1}+at)^{2}}{c^{2}}}}}}=\left|const_{1}+at=k,dk={\frac {dt}{a}}\right|={\frac {1}{a}}\int \limits _{const_{1}}^{const_{1}+at}{\frac {kdk}{\sqrt {1+{\frac {k^{2}}{c^{2}}}}}}={\frac {c^{2}}{2a}}\int \limits _{\frac {const_{1}^{2}}{c^{2}}}^{\frac {(const_{1}+at)^{2}}{c^{2}}}{\frac {d({\frac {k^{2}}{c^{2}}})}{\sqrt {1+{\frac {k^{2}}{c^{2}}}}}}=$

$\ ={\frac {c^{2}}{a}}\left({\sqrt {1+{\frac {(at+const_{1})^{2}}{c^{2}}}}}-{\sqrt {1+{\frac {const_{1}^{2}}{c^{2}}}}}\right)\Rightarrow x=x_{0}+{\frac {c^{2}}{a}}\left({\sqrt {1+{\frac {(at+const_{1})^{2}}{c^{2}}}}}-{\sqrt {1+{\frac {const_{1}^{2}}{c^{2}}}}}\right)\qquad (.3)$.

Кожне з рівнянь у граничному випадку переходить у рівняння нерелятивістської кінематики. Дійсно, із $\ (.1)$ при $\ c->\infty$ одразу виходить вираз

$\ a={\frac {dv}{dt}}$,

із $\ (.2)$ -

$\ v\approx (const_{1}+at)\left(1-{\frac {(const_{1}+at)^{2}}{c^{2}}}\right)\approx const_{1}+at\approx |const_{1}\approx v_{0}|=v_{0}+at$,

а з $\ (.3)$ -

$\ x\approx x_{0}+{\frac {c^{2}}{a}}\left(1+{\frac {(const_{1}+at)^{2}}{c^{2}}}-1-{\frac {const_{1}^{2}}{c^{2}}}\right)=x_{0}+{\frac {c^{2}}{a}}{\frac {1}{2c^{2}}}2const_{1}at+{\frac {c^{2}}{a^{2}}}{\frac {a^{2}t^{2}}{2c^{2}}}=x_{0}+const_{1}t+{\frac {at^{2}}{2}}\approx x_{0}+v_{0}t+{\frac {at^{2}}{2}}$. $\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$

Кінематика стрижня, що рухається прискорено

Кінематика стрижня, що рухається прискорено.  

Нехай є стрижень. Він рухається з рівномірним прискоренням таким, що може вважатися жорстким. Для спрощення описання кінематики з кожним моментом часу руху стрижня можна "зв'язати" локально-інерціальну систему відліку, аспекти використання якої можна описати наступним чином. НеІСВ замінюється на послідовність ІСВ таких, що у момент часу $\ t+dt$ швидкість деякого прискореного об'єкта має значення $\ \mathbf {v} +d\mathbf {v}$. Співставлення кінематичних станів об'єкта у момент часу $\ t$ і $\ t+dt$ дозволяє отримати залежності кінематичних величин одна від одної і від часу.

Тому нехай є два стрижні, які розглядаються відносно деякої ІСВ $\ S'$. Один з них (стрижень 1) покоїться, і один його кінець (точка А) знаходиться у початку системи координат. Інший же рухається із невеликою швидкістю $\ \mathbf {v} '$, причому у момент часу $\ t=0$ положення обох стрижнів співпадають. Вводячи деяку ІСВ $\ S$, у якій перший стрижень рухається із швидкістю $\ \mathbf {u}$, та записуючи обернені перетворення Лоренца для радіус-векторів кінців обох стрижнів, можна отримати:

$\ \mathbf {r} =\mathbf {r} _{0}+\mathbf {v} t,\quad \mathbf {r} '=\mathbf {r} _{0}'+\mathbf {v} 't'\Rightarrow$

$\ \Rightarrow t=\gamma \left(t'+{\frac {(\mathbf {u} \cdot \mathbf {r} ')}{c^{2}}}\right)=\gamma \left(t'+{\frac {(\mathbf {u} \cdot \mathbf {r} _{0}')}{c^{2}}}+{\frac {(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} ')}{c^{2}}}t'\right)\qquad (.1)$,

$\ \mathbf {r} =\mathbf {r} _{0}+\mathbf {v} t=\mathbf {r} '+{\frac {\Gamma }{c^{2}}}\mathbf {u} (\mathbf {u} \cdot \mathbf {r} ')+\gamma \mathbf {u} t'=\mathbf {r} _{0}'+\mathbf {v} 't'+{\frac {\Gamma }{c^{2}}}\mathbf {u} (\mathbf {u} \cdot \mathbf {r} _{0}')+{\frac {\Gamma }{c^{2}}}\mathbf {u} (\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} ')t'+\gamma \mathbf {u} t'=|(.1)|=\mathbf {r} _{0}+\mathbf {v} \gamma \left(t'+{\frac {(\mathbf {u} \cdot \mathbf {r} _{0}')}{c^{2}}}+{\frac {(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} ')}{c^{2}}}t'\right)\Rightarrow$

$\ \Rightarrow \mathbf {r} _{0}-\mathbf {r} _{0}'+{\frac {\gamma }{c^{2}}}\mathbf {v} (\mathbf {u} \cdot \mathbf {r} _{0}')-{\frac {\Gamma }{c^{2}}}\mathbf {u} (\mathbf {u} \cdot \mathbf {r} _{0}')=\left(\mathbf {v} '+\gamma \mathbf {u} +{\frac {\Gamma }{c^{2}}}\mathbf {u} (\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} ')-\gamma \mathbf {v} \left(1+{\frac {(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} ')}{c^{2}}}\right)\right)t'$.

Необхідною умовою виконання цієї рівності для будь-якого $\ t'$ є умова рівності лівої і правої частин. Отже, з лівої і правої частини, що і слідувало очікувати, можна отримати:

$\ \mathbf {r} _{0}=\mathbf {r} _{0}'-{\frac {\gamma }{c^{2}}}\mathbf {v} (\mathbf {u} \cdot \mathbf {r} _{0}')+{\frac {\Gamma }{c^{2}}}\mathbf {u} (\mathbf {u} \cdot \mathbf {r} _{0}')\qquad (.1)$,

$\ \mathbf {v} ={\frac {\mathbf {v} '+\gamma \mathbf {u} +{\frac {\Gamma }{c^{2}}}\mathbf {u} (\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} ')}{\gamma \left(1+{\frac {(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )}{c^{2}}}\right)}}$.

У момент часу $\ t=t'=0$ одні з кінців (точки А) обох стрижнів співпадають і знаходяться у початку координат. Інший кінець (точка В) стрижня 1 у обох ІСВ має швидкість, відповідно, $\ \mathbf {v} =\mathbf {u} ,\quad \mathbf {v} '=0$. Звідси, використавши $\ (.1)$ і позначення $\ \mathbf {r} _{0_{1}}$ для радіус-вектора, що з'єднує початок координат і точку В першого стрижня, можна отримати:

$\ \mathbf {r} _{0_{1}}=\mathbf {r} _{0}'-{\frac {\gamma }{c^{2}}}\mathbf {v} _{1}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {r} _{0}')+{\frac {\Gamma }{c^{2}}}\mathbf {u} (\mathbf {u} \cdot \mathbf {r} _{0}')=|\mathbf {v} _{1}=\mathbf {u} |=\mathbf {r} _{0}'+{\frac {1}{c^{2}}}\mathbf {u} (\mathbf {u} \cdot \mathbf {r} _{0}')(\Gamma -\gamma )=\left|\Gamma ={\frac {\gamma ^{2}}{1+\gamma }}\right|=\mathbf {r} _{0}'-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma }{1+\gamma }}\mathbf {u} (\mathbf {u} \cdot \mathbf {r} _{0}')\qquad (.2)$.

Для тчоки В другого ж стрижня можна записати, що $\ \mathbf {v} =\mathbf {u} +d\mathbf {u} ,\mathbf {v} '=d\mathbf {u}$. Тоді, використовуючи позначення $\ \mathbf {r} _{0_{2}}$, для моменту часу $\ t=t'=0$ з $\ (.1)$ можна записати:

$\ \mathbf {r} _{0_{2}}=\mathbf {r} _{0}'-{\frac {\gamma }{c^{2}}}\mathbf {v} _{2}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {r} _{0}')+{\frac {\Gamma }{c^{2}}}\mathbf {u} (\mathbf {u} \cdot \mathbf {r} _{0}')=|\mathbf {v} _{2}=\mathbf {u} +d\mathbf {u} |=\mathbf {r} _{0}'-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma }{1+\gamma }}\mathbf {u} (\mathbf {u} \cdot \mathbf {r} _{0}')-{\frac {\gamma }{c^{2}}}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {r} _{0}')d\mathbf {u} \qquad (.3)$.

Віднявши від $\ (.3)(.2)$ та інваріантністю ортогональних по відношенню до вектора відносної швидкості компонент радіус-вектора при переході до нової ІСВ, і ввівши вектор довжини стрижня $\ \mathbf {s}$, можна отримати:

$\ \mathbf {r} _{0_{2}}-\mathbf {r} _{0_{1}}=-{\frac {\gamma }{c^{2}}}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {r} _{0}')d\mathbf {u} =|\mathbf {r} _{0_{1}}=\mathbf {s} ,\mathbf {r} _{0_{2}}=\mathbf {s} +d\mathbf {s} ,(\mathbf {u} \cdot \mathbf {r} _{0}')=(\mathbf {u} \cdot \mathbf {s} ')=\gamma (\mathbf {u} \cdot \mathbf {s} )|=d\mathbf {s} =-{\frac {\gamma ^{2}}{c^{2}}}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {s} )d\mathbf {u} \qquad (.4)$.

Рівняння $\ (.4)$ описує зміни вектора довжини стрижня за модулем і за орієнтацією. Тому його доцільно "розбити" на два рівняння, кожне з яких описує окрему зміну. Це просто зробити, ввівши довжину вектора, $\ l=|\mathbf {s} |$, та одиничний направляючий вектор, $\ \mathbf {n} ={\frac {\mathbf {s} }{l}}$. Тоді, використавши $\ (.4)$ можна записати

$\ d\left(\mathbf {s} \cdot \mathbf {s} \right)=2\left(\mathbf {s} \cdot d\mathbf {s} \right)=-2{\frac {\gamma ^{2}}{c^{2}}}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {s} )(d\mathbf {u} \cdot \mathbf {s} )=d(l^{2})=2ldl\Rightarrow dl=-{\frac {\gamma ^{2}}{c^{2}}}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {s} )(d\mathbf {u} \cdot \mathbf {n} )\Rightarrow {\frac {1}{l}}dl=d(ln(l))=-{\frac {\gamma ^{2}}{c^{2}}}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {n} )(d\mathbf {u} \cdot \mathbf {n} )\Rightarrow$

$\ \Rightarrow {\frac {d(ln(l))}{dt}}=-{\frac {\gamma ^{2}}{c^{2}}}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {n} )(\mathbf {a} \cdot \mathbf {n} )$,

$\ {\frac {d\mathbf {n} }{dt}}={\frac {d\left({\frac {\mathbf {s} }{l}}\right)}{dt}}={\frac {1}{l}}{\frac {d\mathbf {s} }{dt}}-{\frac {1}{l^{2}}}{\frac {dl}{dt}}\mathbf {s} =\left|{\frac {1}{l}}{\frac {dl}{dt}}={\frac {d(ln(l))}{dt}}\right|=-{\frac {\gamma ^{2}}{c^{2}}}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {a} +{\frac {1}{l}}\mathbf {s} {\frac {\gamma ^{2}}{c^{2}}}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {n} )(\mathbf {a} \cdot \mathbf {n} )={\frac {\gamma ^{2}}{c^{2}}}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {n} )(\mathbf {n} (\mathbf {n} \cdot \mathbf {a} )-\mathbf {a} )={\frac {\gamma ^{2}}{c^{2}}}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {n} )[[\mathbf {a} \times \mathbf {n} ]\times \mathbf {n} ]\qquad (.5)$.

Ввівши вектор кутової швидкості, $\ \mathbf {\omega } ={\frac {\gamma ^{2}}{c^{2}}}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {n} )[\mathbf {a} \times \mathbf {n} ]$, $\ (.5)$ можна переписати як

$\ {\frac {d\mathbf {n} }{dt}}=[\mathbf {\omega } \times \mathbf {n} ]$.

Із введеної величини також випливає, що для випадку

$\ (\mathbf {u} \cdot \mathbf {n} )=u\Rightarrow [\mathbf {a} \times \mathbf {n} ]=a$

нескінченно малий кут повороту стрижня рівен

$\ d\varphi ={\frac {\gamma ^{2}}{c^{2}}}udu$.$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$

Енергія та імпульс у СТВ

Формула Ціолковського

Формула Ціоковського.  

Нехай є ракета маси $\ m$, що летить із швидкістю v у вакуумі. За малий інтервал часу $\ dt$ вона позбавляється елемента з малою енергією $\ \varepsilon$ і швидкістю $\ -u$, яка вважається швидкістю вильоту елемента із ракети відносно спостерігача.

Закони збереження імпульса і енергії мають вигляд

$\ {\frac {m_{1}v_{1}}{\sqrt {1-{\frac {v_{1}^{2}}{c^{2}}}}}}={\frac {m_{2}v_{2}}{\sqrt {1-{\frac {v_{2}^{2}}{c^{2}}}}}}-{\frac {u\varepsilon }{c^{2}}},\quad {\frac {m_{1}c^{2}}{\sqrt {1-{\frac {v_{1}^{2}}{c^{2}}}}}}={\frac {m_{2}c^{2}}{\sqrt {1-{\frac {v_{2}^{2}}{c^{2}}}}}}+\varepsilon$.

Якщо проміжок часу $\ dt$ і, відповідно, енергія $\ \varepsilon$ малі, то зміни власних імпульса і енергії ракети можуть бути замінені на диференціал. Тоді

$\ {\frac {m_{2}c^{2}}{\sqrt {1-{\frac {v_{2}^{2}}{c^{2}}}}}}-{\frac {m_{1}c^{2}}{\sqrt {1-{\frac {v_{1}^{2}}{c^{2}}}}}}=d\left({\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\right)=\varepsilon ,\qquad {\frac {m_{2}v_{2}}{\sqrt {1-{\frac {v_{2}^{2}}{c^{2}}}}}}-{\frac {m_{1}v_{1}}{\sqrt {1-{\frac {v_{1}^{2}}{c^{2}}}}}}=d\left({\frac {mv}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\right)=-{\frac {u\varepsilon }{c^{2}}}=-{\frac {u}{c^{2}}}d\left({\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\right)\qquad (.1)$.

Для подальшого треба врахувати дві речі.

По-перше, швидкість $\ u$ записана як швидкість елементу, шо вилітає із ракети. Це означає, що при переході до ІСВ нерухомого спостерігача ця швидкість також стає залежною від $\ v$. Це означає, що якщо використати перетворення швидкостей та записати швидкість $\ u$ відносно нерухомого спостерігача, то ця швидкість буде функцією від $\ v$. За законом складання швидкостей (рух відбувається по осі Ox, швидкість елемента відносно ракети рівна $\ -u_{0}=const$),

$\ u_{x}={\frac {u'+v}{1+{\frac {u'v}{c^{2}}}}}=|u'=-u_{0}|={\frac {v-u_{0}}{1-{\frac {vu_{0}}{c^{2}}}}}=-u$.

По-друге, у рівнянні є дві величини, що залежать від часу $\ t$. Оскільки у кожен момент часу даній швидкості відповідає дана маса, то можна перейти від залежності обох змінних від часу до залежності маси від швидкості.

Тоді, з урахуванням написаного і ввівши функцію $\ f={\frac {m}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$, $\ (.1)$ можна перетворити:

$\ d(vf)=vdf+fdv={\frac {v-u_{0}}{1-{\frac {vu_{0}}{c^{2}}}}}df\Rightarrow df(v-{\frac {v^{2}u_{0}}{c^{2}}}-v+u_{0})=-fdv(1-{\frac {vu_{0}}{c^{2}}})\Rightarrow {\frac {df}{f}}={\frac {{\frac {v}{c^{2}}}-{\frac {1}{u_{0}}}}{1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}dv=-{\frac {1}{u_{0}}}\left({\frac {dv}{1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}\right)+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {vdv}{1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}=$

$\ ={\frac {1}{2}}{\frac {d\left({\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)}{1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}-{\frac {c}{2u_{0}}}\left({\frac {d\left({\frac {v}{c}}\right)}{1-{\frac {v}{c}}}}+{\frac {d\left({\frac {v}{c}}\right)}{1+{\frac {v}{c}}}}\right)\Rightarrow ln(f)=-{\frac {1}{2}}ln\left(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)+{\frac {c}{2u_{0}}}ln\left(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)=ln\left(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)^{{\frac {c}{2u_{0}}}-{\frac {1}{2}}}\Rightarrow$

$\ \Rightarrow {\frac {m}{\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}}=\left(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)^{{\frac {c}{2u_{0}}}-{\frac {1}{2}}}\Rightarrow m=\left(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)^{\frac {c}{2u_{0}}}$.

Цей вираз описує зміну маси ракети у залежності від її швидкості і називається релятивістською формулою Ціолковського.

$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$

Сила у СТВ

Розв'язок рівняння динаміки

Постійна сила

Постійна сила.  

Вираз для сили у СТВ, записаний через похідну по часу від виразу імпульса, має вигляд

$\ \mathbf {F} ={\frac {d}{dt}}\left({\frac {m\mathbf {v} }{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\right)=m\mathbf {a} ,\quad \mathbf {a} ={\frac {d}{dt}}\left({\frac {\mathbf {v} }{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\right)$.

Можна, маючи значення $\ \mathbf {F} =const$, отримати вирази для $\ \mathbf {v} ,\mathbf {r}$.

Перший раз інтегруючи вираз для $\ \mathbf {a}$ по часу, можна отримати:

$\ {\frac {\mathbf {v} }{\sqrt {1-{\frac {\mathbf {v} ^{2}}{c^{2}}}}}}=\mathbf {w} _{0}+\mathbf {a} t\Rightarrow \mathbf {v} ={\frac {\mathbf {w} _{0}+\mathbf {a} t}{\sqrt {1+{\frac {(\mathbf {w} _{0}+\mathbf {a} t)^{2}}{c^{2}}}}}},\quad \mathbf {w} _{0}={\frac {\mathbf {v} _{0}}{\sqrt {1-{\frac {v_{0}^{2}}{c^{2}}}}}}\qquad (.1)$.

Отриманий вираз проінтегрувати просто не вдасться, оскільки не вдасться виразити диференціал заміни $\ \mathbf {k} =\mathbf {w} _{0}+\mathbf {a} t$ через вектор $\ \mathbf {a} dt$ (для цього довелося б домножити і розділити вираз на вектор). Через це доцільно перетворити знаменник так, щоб у дужках під повним квадратом стояв скалярний вираз. Це можна зробити, розписавши явно повний квадрат по t у знаменнику і дещо перетворивши його:

$\ {\sqrt {1+{\frac {1}{c^{2}}}\left(w_{0}^{2}+2(\mathbf {w} _{0}\cdot \mathbf {a} )t+a^{2}t^{2}\right)}}={\frac {a}{c\alpha }}{\sqrt {1+\alpha ^{2}\left(t+{\frac {(\mathbf {w} _{0}\cdot \mathbf {a} )}{a^{2}}}\right)^{2}}},\quad \alpha ={\frac {a}{c}}{\frac {1}{\sqrt {1+{\frac {[\mathbf {w} _{0}\times \mathbf {a} ]^{2}}{a^{2}c^{2}}}}}}$.

Доведення.  

$\ {\sqrt {1+{\frac {1}{c^{2}}}\left(w_{0}^{2}+2(\mathbf {w} _{0}\cdot \mathbf {a} )t+a^{2}t^{2}\right)}}={\sqrt {1+{\frac {a^{2}}{c^{2}}}\left({\frac {w_{0}^{2}}{a^{2}}}+2{\frac {(\mathbf {w} _{0}\cdot \mathbf {a} )}{a^{2}}}t+t^{2}\right)}}=\left|{\frac {w_{0}^{2}}{a^{2}}}={\frac {[\mathbf {w} _{0}\times \mathbf {a} ]^{2}}{a^{4}}}+{\frac {(\mathbf {w} _{0}\cdot \mathbf {a} )^{2}}{a^{4}}}\right|=$

$\ ={\sqrt {1+{\frac {[\mathbf {w} _{0}\times \mathbf {a} ]^{2}}{a^{2}c^{2}}}+{\frac {a^{2}}{c^{2}}}{\frac {\left(t+{\frac {(\mathbf {w} _{0}\cdot \mathbf {a} )}{a^{2}}}\right)^{2}}{c^{2}}}}}={\frac {1}{\sqrt {1+{\frac {[\mathbf {w} _{0}\times \mathbf {a} ]}{a^{2}c^{2}}}}}}{\sqrt {1+{\frac {a^{2}}{c^{2}}}{\frac {1}{1+{\frac {[\mathbf {w} _{0}\times \mathbf {a} ]}{a^{2}c^{2}}}}}{\frac {\left(t+{\frac {(\mathbf {w} _{0}\cdot \mathbf {a} )}{a^{2}}}\right)^{2}}{c^{2}}}}}=\left|\alpha ={\frac {a}{c}}{\frac {1}{\sqrt {1+{\frac {[\mathbf {w} _{0}\times \mathbf {a} ]^{2}}{a^{2}c^{2}}}}}}\right|=$

$\ ={\frac {a}{c\alpha }}{\sqrt {1+\alpha ^{2}\left(t+{\frac {(\mathbf {w} _{0}\cdot \mathbf {a} )}{a^{2}}}\right)^{2}}}$.

Тоді сам інтеграл від $\ (.1)$ набуде вигляду

$\ \mathbf {r} =\mathbf {r} _{0}+{\frac {c^{2}\mathbf {a} }{a^{2}}}\left({\sqrt {1+{\frac {(\mathbf {a} t+\mathbf {w} _{0})^{2}}{c^{2}}}}}-{\sqrt {1+{\frac {w_{0}^{2}}{c^{2}}}}}\right)+{\frac {c[[\mathbf {a} \times \mathbf {w} _{0}]\times \mathbf {a} ]}{a^{3}}}ln\left|{\frac {at+{\frac {(\mathbf {w} _{0}\cdot \mathbf {a} )}{a}}+{\sqrt {1+{\frac {(\mathbf {a} t+\mathbf {w} _{0})^{2}}{c^{2}}}}}}{{\frac {(\mathbf {w} _{0}\cdot \mathbf {a} )}{a}}+{\sqrt {1+{\frac {\mathbf {w} _{0}^{2}}{c^{2}}}}}}}\right|=$

$\ =\mathbf {r} _{0}+{\frac {c^{2}\mathbf {a} }{a^{2}}}\left({\sqrt {1+{\frac {(\mathbf {a} t+\mathbf {w} _{0})^{2}}{c^{2}}}}}-{\sqrt {1+{\frac {w_{0}^{2}}{c^{2}}}}}\right)+{\frac {c[[\mathbf {a} \times \mathbf {w} _{0}]\times \mathbf {a} ]}{a^{2}}}\tau (t)$,

де

$\ \tau (t)={\frac {1}{a}}ln\left|{\frac {at+{\frac {(\mathbf {w} _{0}\cdot \mathbf {a} )}{a}}+{\sqrt {1+{\frac {(\mathbf {a} t+\mathbf {w} _{0})^{2}}{c^{2}}}}}}{{\frac {(\mathbf {w} _{0}\cdot \mathbf {a} )}{a}}+{\sqrt {1+{\frac {\mathbf {w} _{0}^{2}}{c^{2}}}}}}}\right|$

- власний час об'єкта.

Доведення.  

$\ \int \limits _{0}^{t}\mathbf {v} dt=\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}={\frac {c\alpha }{a}}\int \limits _{0}^{t}{\frac {(\mathbf {w} _{0}+\mathbf {a} t)dt}{\sqrt {1+\alpha ^{2}\left(t+{\frac {(\mathbf {w} _{0}\cdot \mathbf {a} )}{a^{2}}}\right)^{2}}}}=\left|t+{\frac {(\mathbf {w} _{0}\cdot \mathbf {a} )}{a^{2}}}=k\Rightarrow t=k-{\frac {(\mathbf {w} _{0}\cdot \mathbf {a} )}{a^{2}}}\Rightarrow dt=dk\right|=$

$\ ={\frac {c\alpha }{a}}\int \limits _{\frac {(\mathbf {w} _{0}\cdot \mathbf {a} )}{a^{2}}}^{t+{\frac {(\mathbf {w} _{0}\cdot \mathbf {a} )}{a^{2}}}}{\frac {\left(\mathbf {w} _{0}-\mathbf {a} {\frac {(\mathbf {w} _{0}\cdot \mathbf {a} )}{a^{2}}}+\mathbf {a} k\right)dk}{\sqrt {1+\alpha ^{2}k^{2}}}}=\left|\mathbf {w} _{0}-\mathbf {a} {\frac {(\mathbf {w} _{0}\cdot \mathbf {a} )}{a^{2}}}=\mathbf {w} _{0}{\frac {(\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} )}{a^{2}}}-\mathbf {a} {\frac {(\mathbf {w} _{0}\cdot \mathbf {a} )}{a^{2}}}={\frac {[[\mathbf {a} \times \mathbf {w} _{0}]\times \mathbf {a} ]}{a^{2}}}\right|=$

$\ ={\frac {c\mathbf {a} }{2a\alpha }}\int \limits _{\alpha ^{2}{\frac {(\mathbf {w} _{0}\cdot \mathbf {a} )^{2}}{a^{4}}}}^{\alpha ^{2}\left(t+{\frac {(\mathbf {w} _{0}\cdot \mathbf {a} )}{a^{2}}}\right)^{2}}{\frac {d(\alpha ^{2}k^{2})}{\sqrt {1+\alpha ^{2}k^{2}}}}+{\frac {c}{a}}{\frac {[[\mathbf {a} \times \mathbf {w} _{0}]\times \mathbf {a} ]}{a^{2}}}\int \limits _{\alpha {\frac {(\mathbf {w} _{0}\cdot \mathbf {a} )}{a^{2}}}}^{\alpha \left(t+{\frac {(\mathbf {w} _{0}\cdot \mathbf {a} )}{a^{2}}}\right)}{\frac {d(\alpha k)}{\sqrt {1+\alpha ^{2}k^{2}}}}$.

Тепер, попередньо врахувавши, що

$\ \alpha {\frac {1}{\sqrt {1+\alpha ^{2}\left(t+{\frac {(\mathbf {a} \cdot \mathbf {w} _{0})}{a^{2}}}\right)^{2}}}}={\frac {a}{c}}{\frac {1}{\sqrt {1+{\frac {[\mathbf {w} _{0}\times \mathbf {a} ]^{2}}{a^{2}c^{2}}}+{\frac {a^{2}}{c^{2}}}\left(t+{\frac {(\mathbf {w} _{0}\cdot \mathbf {a} )}{a^{2}}}\right)^{2}}}}={\frac {a}{c}}{\frac {1}{\sqrt {1+{\frac {(\mathbf {a} t+\mathbf {w} _{0})^{2}}{c^{2}}}}}}$,

можна "взяти" кожен з доданків-інтегралів:

$\ {\frac {c\mathbf {a} }{2a\alpha }}\int \limits _{\alpha ^{2}{\frac {(\mathbf {w} _{0}\cdot \mathbf {a} )^{2}}{a^{4}}}}^{\alpha ^{2}\left(t+{\frac {(\mathbf {w} _{0}\cdot \mathbf {a} )}{a^{2}}}\right)^{2}}{\frac {d(\alpha ^{2}k^{2})}{\sqrt {1+\alpha ^{2}k^{2}}}}=\left|\alpha ={\frac {a}{c}}{\frac {1}{\sqrt {1+{\frac {[\mathbf {w} _{0}\times \mathbf {a} ]^{2}}{c^{2}a^{2}}}}}}\right|={\frac {c^{2}}{a^{2}}}\mathbf {a} {\sqrt {1+{\frac {[\mathbf {w} _{0}\times \mathbf {a} ]^{2}}{a^{2}c^{2}}}}}\left({\sqrt {1+\alpha ^{2}\left(t+{\frac {(\mathbf {w} _{0}\cdot \mathbf {a} )}{a^{4}}}\right)^{2}}}-{\sqrt {1+\alpha ^{2}{\frac {(\mathbf {w} _{0}\cdot \mathbf {a} )^{2}}{a^{2}}}}}\right)=$

$\ ={\frac {c^{2}\mathbf {a} }{a^{2}}}\left({\sqrt {1+{\frac {(\mathbf {a} t+\mathbf {w} _{0})^{2}}{c^{2}}}}}-{\sqrt {1+{\frac {w_{0}^{2}}{c^{2}}}}}\right)$,

$\ {\frac {c}{a}}{\frac {[[\mathbf {a} \times \mathbf {w} _{0}]\times \mathbf {a} ]}{a^{2}}}\int {\frac {d(\alpha k)}{\sqrt {1+\alpha ^{2}k^{2}}}}={\frac {c[[\mathbf {a} \times \mathbf {w} _{0}]\times \mathbf {a} ]}{a^{3}}}ln\left|\alpha \left(t+{\frac {(\mathbf {w} _{0}\cdot \mathbf {a} )}{a^{2}}}\right)+{\sqrt {1+\alpha ^{2}\left(t+{\frac {(\mathbf {w} _{0}\cdot \mathbf {a} )}{a^{2}}}\right)^{2}}}\right|{\bigg |}_{0}^{t}=$

$\ ={\frac {c[[\mathbf {a} \times \mathbf {w} _{0}]\times \mathbf {a} ]}{a^{3}}}ln\left|{\frac {a}{c}}{\frac {t+{\frac {(\mathbf {w} _{0}\cdot \mathbf {a} )}{a^{2}}}}{\sqrt {1+{\frac {[\mathbf {w} _{0}\times \mathbf {a} ]^{2}}{c^{2}a^{2}}}}}}+{\sqrt {1+\alpha ^{2}\left(t+{\frac {(\mathbf {w} _{0}\cdot \mathbf {a} )}{a^{2}}}\right)^{2}}}\right|{\bigg |}_{0}^{t}={\frac {c[[\mathbf {a} \times \mathbf {w} _{0}]\times \mathbf {a} ]}{a^{3}}}ln\left|{\frac {at+{\frac {(\mathbf {w} _{0}\cdot \mathbf {a} )}{a}}+{\sqrt {1+{\frac {(\mathbf {a} t+\mathbf {w} _{0})^{2}}{c^{2}}}}}}{\sqrt {1+{\frac {[\mathbf {w} _{0}\times \mathbf {a} ]^{2}}{c^{2}a^{2}}}}}}\right|{\bigg |}_{0}^{t}=$

$\ ={\frac {c[[\mathbf {a} \times \mathbf {w} _{0}]\times \mathbf {a} ]}{a^{3}}}\left[ln\left|{\frac {at+{\frac {(\mathbf {w} _{0}\cdot \mathbf {a} )}{a}}+{\sqrt {1+{\frac {(\mathbf {a} t+\mathbf {w} _{0})^{2}}{c^{2}}}}}}{\sqrt {1+{\frac {[\mathbf {w} _{0}\times \mathbf {a} ]^{2}}{c^{2}a^{2}}}}}}\right|-ln\left|{\frac {{\frac {(\mathbf {w} _{0}\cdot \mathbf {a} )}{a}}+{\sqrt {1+{\frac {\mathbf {w} _{0}^{2}}{c^{2}}}}}}{\sqrt {1+{\frac {[\mathbf {w} _{0}\times \mathbf {a} ]^{2}}{c^{2}a^{2}}}}}}\right|\right]={\frac {c[[\mathbf {a} \times \mathbf {w} _{0}]\times \mathbf {a} ]}{a^{3}}}ln\left|{\frac {at+{\frac {(\mathbf {w} _{0}\cdot \mathbf {a} )}{a}}+{\sqrt {1+{\frac {(\mathbf {a} t+\mathbf {w} _{0})^{2}}{c^{2}}}}}}{{\frac {(\mathbf {w} _{0}\cdot \mathbf {a} )}{a}}+{\sqrt {1+{\frac {\mathbf {w} _{0}^{2}}{c^{2}}}}}}}\right|=$

$\ ={\frac {c[[\mathbf {a} \times \mathbf {w} _{0}]\times \mathbf {a} ]}{a^{2}}}\tau (t),\quad \tau (t)={\frac {1}{a}}ln\left|{\frac {at+{\frac {(\mathbf {w} _{0}\cdot \mathbf {a} )}{a}}+{\sqrt {1+{\frac {(\mathbf {a} t+\mathbf {w} _{0})^{2}}{c^{2}}}}}}{{\frac {(\mathbf {w} _{0}\cdot \mathbf {a} )}{a}}+{\sqrt {1+{\frac {\mathbf {w} _{0}^{2}}{c^{2}}}}}}}\right|=\int \limits _{0}^{t}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}dt=\left|\mathbf {v} ={\frac {\mathbf {w} _{0}+\mathbf {a} t}{\sqrt {1+{\frac {(\mathbf {w} _{0}+\mathbf {a} t)^{2}}{c^{2}}}}}}\right|=\int \limits _{0}^{t}{\frac {dt}{\sqrt {1+{\frac {(\mathbf {w} _{0}+\mathbf {a} t)^{2}}{c^{2}}}}}}$,

де остання функція, $\ \tau (t)$ - власний час об'єкта.

Отже,

$\ \mathbf {r} =\mathbf {r} _{0}+{\frac {c^{2}\mathbf {a} }{a^{2}}}\left({\sqrt {1+{\frac {(\mathbf {a} t+\mathbf {w} _{0})^{2}}{c^{2}}}}}-{\sqrt {1+{\frac {w_{0}^{2}}{c^{2}}}}}\right)+{\frac {c[[\mathbf {a} \times \mathbf {w} _{0}]\times \mathbf {a} ]}{a^{3}}}ln\left|{\frac {at+{\frac {(\mathbf {w} _{0}\cdot \mathbf {a} )}{a}}+{\sqrt {1+{\frac {(\mathbf {a} t+\mathbf {w} _{0})^{2}}{c^{2}}}}}}{{\frac {(\mathbf {w} _{0}\cdot \mathbf {a} )}{a}}+{\sqrt {1+{\frac {\mathbf {w} _{0}^{2}}{c^{2}}}}}}}\right|=$

$\ =\mathbf {r} _{0}+{\frac {c^{2}\mathbf {a} }{a^{2}}}\left({\sqrt {1+{\frac {(\mathbf {a} t+\mathbf {w} _{0})^{2}}{c^{2}}}}}-{\sqrt {1+{\frac {w_{0}^{2}}{c^{2}}}}}\right)+{\frac {c[[\mathbf {a} \times \mathbf {w} _{0}]\times \mathbf {a} ]}{a^{2}}}\tau (t)$.

Кулонівський потенціал

Кулонівський потенціал.  

Тепер можна розглянути випадок з

$\ \mathbf {F} =\alpha {\frac {\mathbf {r} }{|\mathbf {r} |^{3}}}\qquad (.2)$

(рух релятивістської частинки у полі статичного заряду або статичної маси).

Для такої сили, як для центральної, зберігаються енергія та момент імпульсу:

$\ {\frac {dE}{dt}}={\frac {dE_{k}}{dt}}+{\frac {dU}{dt}}=(\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} )+{\frac {\alpha }{r^{2}}}{\frac {d|\mathbf {r} |}{dt}}=\alpha {\frac {(\mathbf {r} \cdot \mathbf {v} )}{r^{3}}}-\alpha {\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {r} )}{r^{3}}}=0$,

де враховано, що

$\ {\frac {d|\mathbf {r} |}{dt}}={\frac {d{\sqrt {(\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} )}}}{dt}}={\frac {2\left({\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\cdot \mathbf {r} \right)}{2{\sqrt {(\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} )}}}}={\frac {(\mathbf {r} \cdot \mathbf {v} )}{r}}$,

і

$\ {\frac {d\mathbf {L} }{dt}}=[\mathbf {r} \times \mathbf {F} ]=0$.

Тому для розв'язку $\ (.2)$ раціональніше використати ці інтеграли руху. По-перше, збереження вектора моменту імпульсу означає, що рух відбувається в одній площині. Дійсно, із часом зберігаються як його довжина, так і модуль, а тому, оскільки момент імпульсу перпендикулярний як радіус-вектору частинки, так і її швидкості, виходить, що радіус-вектор і вектор швидкості належать одній площині, яка є "стаціонарною".

Через це раціонально розв'язувати рівняння динаміки, перейшовши до полярних координат. У них радіус-вектор і вектор швидкості мають вигляд

$\ \mathbf {r} =r\mathbf {e} _{r},\quad {\dot {\mathbf {r} }}={\dot {r}}\mathbf {e} _{r}+r{\dot {\mathbf {e} _{r}}}=|\mathbf {r} =cos(\varphi )\mathbf {e} _{x}+sin(\varphi )\mathbf {e} _{y},\quad \mathbf {e} _{\varphi }=-sin(\varphi )\mathbf {e} _{x}+cos(\varphi )\mathbf {e} _{y}|={\dot {r}}\mathbf {e} _{r}+r{\dot {\varphi }}\mathbf {e} _{\varphi }$,

а вектор моменту імпульсу -

$\ \mathbf {L} ={\begin{vmatrix}\mathbf {e} _{r}&\mathbf {e} _{\varphi }&\mathbf {\mathbf {e} } _{z}\\r&0&0\\m{\dot {r}}\gamma _{\mathbf {v} }&m{\dot {\varphi }}r\gamma _{\mathbf {v} }&0\end{vmatrix}}=m\gamma _{\mathbf {v} }{\dot {\varphi }}r^{2}\mathbf {e} _{z}={\frac {mr^{2}{\dot {\varphi }}\mathbf {e} _{z}}{\sqrt {1-{\frac {({\dot {r}}^{2}+{\dot {\varphi }}^{2}r^{2})}{c^{2}}}}}}=L\mathbf {e} _{z}$. З нього можна виразити $\ {\dot {\varphi }}$: дійсно,

$\ L^{2}={\frac {{\dot {\varphi }}^{2}r^{4}m^{2}}{1-{\frac {{\dot {r}}^{2}+{\dot {\varphi }}^{2}r^{2}}{c^{2}}}}}\Rightarrow {\dot {\varphi }}^{2}={\frac {c^{2}L^{2}\left(1-{\frac {{\dot {r}}^{2}}{c^{2}}}\right)}{r^{2}(m^{2}r^{2}c^{2}+L^{2})}}\qquad (.3)$.

Отриманий вираз можна підставити до виразу енергії:

$\ E={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-{\frac {({\dot {r}}^{2}+{\dot {\varphi }}^{2}r^{2})}{c^{2}}}}}}-{\frac {\alpha }{r}}\Rightarrow 1-{\frac {{\dot {r}}^{2}+{\frac {c^{2}L^{2}\left(1-{\frac {{\dot {r}}^{2}}{c^{2}}}\right)}{m^{2}r^{2}c^{2}+L^{2}}}}{c^{2}}}={\frac {m^{2}r^{2}c^{4}-{\dot {r}}^{2}m^{2}r^{2}c^{2}}{c^{2}(m^{2}r^{2}c^{2}+L^{2})}}={\frac {m^{2}c^{4}r^{2}}{(Er+\alpha )^{2}}}\Rightarrow {\dot {r}}^{2}=c^{2}\left(1-{\frac {c^{2}(m^{2}r^{2}c^{2}+L^{2})}{(Er+\alpha )^{2}}}\right)\qquad (.4)$.

Інтегрування виразу буде виконано нижче, а на даному етапі можна підставити цей вираз у $\ (.3)$:

$\ {\dot {\varphi }}^{2}=c^{2}L^{2}{\frac {1-1+{\frac {c^{4}(m^{2}r^{2}c^{2}+L^{2})}{c^{2}(Er+\alpha )^{2}}}}{r^{2}(m^{2}r^{2}c^{2}+L^{2})}}={\frac {L^{2}c^{4}}{(Er+\alpha )^{2}}}\qquad (.5)$.

Явну залежність $\ \varphi =\varphi (t)$ знайти не вдасться, оскільки рівняння на $\ r=r(t)$ - неявне (див. інтегрування виразу $\ (.4)$ нижче). Проте можна знайти величину $\ \varphi =\varphi (r)$, якщо виразити із $\ (.4)$ диференціал $\ dt$:

$\ {\frac {dr}{dt}}=c{\sqrt {1-{\frac {c^{2}(m^{2}r^{2}c^{2}+L^{2})}{(Er+\alpha )^{2}}}}}\Rightarrow dt={\frac {1}{c}}{\frac {dr}{\sqrt {1-{\frac {c^{2}(m^{2}r^{2}c^{2}+L^{2})}{(Er+\alpha )^{2}}}}}}$.

Тоді $\ (.5)$ набуде вигляду

$\ d\varphi =Lc{\frac {dr}{r(Er+\alpha ){\sqrt {1-{\frac {c^{2}(m^{2}r^{2}c^{2}+L^{2})}{(Er+\alpha )^{2}}}}}}}=Lc{\frac {dr}{r{\sqrt {r^{2}(E^{2}-m^{2}c^{4})+2\alpha Er+\alpha ^{2}-L^{2}c^{2}}}}}=\left|{\frac {1}{r}}=\tau \right|=$

$\ ={\frac {-Lcd\tau }{\sqrt {\tau ^{2}(\alpha ^{2}-L^{2}c^{2})+2\alpha E\tau +(E^{2}-m^{2}c^{4})}}}$.

Нехай $\ \alpha ^{2}-L^{2}c^{2}>0$. Тоді

$\ \Rightarrow \varphi (\tau )=-Lc\int {\frac {d\tau }{\sqrt {\left(\tau {\sqrt {\alpha ^{2}-L^{2}c^{2}}}+{\frac {\alpha E}{\sqrt {\alpha ^{2}-L^{2}c^{2}}}}\right)^{2}-{\frac {\alpha ^{2}E^{2}}{\alpha ^{2}-L^{2}c^{2}}}+E^{2}-m^{2}c^{4}}}}=-{\frac {Lc}{\sqrt {\alpha ^{2}-L^{2}c^{2}}}}\int {\frac {d\left({\frac {{\sqrt {\alpha ^{2}-L^{2}c^{2}}}\tau }{\sqrt {{\frac {E^{2}L^{2}c^{2}}{\alpha ^{2}-L^{2}c^{2}}}+m^{2}c^{4}}}}\right)}{\sqrt {\left[{\frac {{\sqrt {\alpha ^{2}-L^{2}c^{2}}}\tau +{\frac {\alpha E}{\sqrt {\alpha ^{2}-L^{2}c^{2}}}}}{\sqrt {{\frac {E^{2}L^{2}c^{2}}{\alpha ^{2}-L^{2}c^{2}}}+m^{2}c^{4}}}}\right]^{2}-1}}}=$

$\ =-{\frac {Lc}{\sqrt {\alpha ^{2}-L^{2}c^{2}}}}arcch\left[{\frac {{\frac {\sqrt {\alpha ^{2}-L^{2}c^{2}}}{r}}+{\frac {\alpha E}{\sqrt {\alpha ^{2}-L^{2}c^{2}}}}}{\sqrt {{\frac {E^{2}L^{2}c^{2}}{\alpha ^{2}-L^{2}c^{2}}}+m^{2}c^{4}}}}\right]+\varphi _{0}$.

Можна проінтегрувати вираз $\ (.4)$:

$\ t-t_{0}={\frac {1}{c}}\int {\frac {dr(rE+\alpha )}{\sqrt {r^{2}(E^{2}-m^{2}c^{4})+2\alpha Er+\alpha ^{2}-L^{2}c^{2}}}}={\frac {E\left({\frac {\alpha ^{2}m^{2}c^{4}}{E^{2}-m^{2}c^{4}}}+L^{2}c^{2}\right)}{2c(E^{2}-m^{2}c^{4})}}\int {\frac {d\left[\left({\frac {r{\sqrt {E^{2}-m^{2}c^{4}}}+{\frac {\alpha E}{\sqrt {E^{2}-m^{2}c^{4}}}}}{\sqrt {{\frac {\alpha ^{2}m^{2}c^{4}}{E^{2}-m^{2}c^{4}}}+L^{2}c^{2}}}}\right)^{2}\right]}{\sqrt {\left({\frac {r{\sqrt {E^{2}-m^{2}c^{4}}}+{\frac {\alpha E}{\sqrt {E^{2}-m^{2}c^{4}}}}}{\sqrt {{\frac {\alpha ^{2}m^{2}c^{4}}{E^{2}-m^{2}c^{4}}}+L^{2}c^{2}}}}\right)^{2}-1}}}+$

$\ +\left({\frac {\alpha }{c}}-{\frac {\alpha E^{2}}{c(E^{2}-m^{2}c^{4})}}\right){\frac {\sqrt {{\frac {\alpha ^{2}m^{2}c^{4}}{E^{2}-m^{2}c^{4}}}+L^{2}c^{2}}}{\sqrt {E^{2}-m^{2}c^{4}}}}\int {\frac {d\left({\frac {{\sqrt {E^{2}-m^{2}c^{4}}}r}{\sqrt {{\frac {\alpha ^{2}m^{2}c^{4}}{E^{2}-m^{2}c^{4}}}+L^{2}c^{2}}}}\right)}{\sqrt {\left({\frac {r{\sqrt {E^{2}-m^{2}c^{4}}}+{\frac {\alpha E}{\sqrt {E^{2}-m^{2}c^{4}}}}}{\sqrt {{\frac {\alpha ^{2}m^{2}c^{4}}{E^{2}-m^{2}c^{4}}}+L^{2}c^{2}}}}\right)^{2}-1}}}=$

$\ ={\frac {E\left({\frac {\alpha ^{2}m^{2}c^{4}}{E^{2}-m^{2}c^{4}}}+L^{2}c^{2}\right)}{c(E^{2}-m^{2}c^{4})}}{\sqrt {\left({\frac {r{\sqrt {E^{2}-m^{2}c^{4}}}+{\frac {\alpha E}{\sqrt {E^{2}-m^{2}c^{4}}}}}{\sqrt {{\frac {\alpha ^{2}m^{2}c^{4}}{E^{2}-m^{2}c^{4}}}+L^{2}c^{2}}}}\right)^{2}-1}}+$

$\ +\left({\frac {\alpha }{c}}-{\frac {\alpha E^{2}}{c(E^{2}-m^{2}c^{4})}}\right){\frac {\sqrt {{\frac {\alpha ^{2}m^{2}c^{4}}{E^{2}-m^{2}c^{4}}}+L^{2}c^{2}}}{\sqrt {E^{2}-m^{2}c^{4}}}}arcch\left({\frac {r{\sqrt {E^{2}-m^{2}c^{4}}}+{\frac {\alpha E}{\sqrt {E^{2}-m^{2}c^{4}}}}}{\sqrt {{\frac {\alpha ^{2}m^{2}c^{4}}{E^{2}-m^{2}c^{4}}}+L^{2}c^{2}}}}\right)$.

Отримані розв'язки дозволяють, через наявну залежність $\ r=r(t)$, описувати динаміку полярних радіуса і кута із часом. $\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$

Вираз для сили, що зберігає стандартні інтеграли руху

Вираз для сили, що зберігає стандартні інтеграли руху.  

Нехай простір-час є ізотропним. Це означає, що загальний вираз для сили при інверсії координатних осей не повинен змінювати свого вигляду, а при повторній інверсії він має переходити сам у себе. Звідси, а також - з того, що для повного описання руху частинки достатньо знати її координату та швидкість (це можна допустити, хоч у теорії поля це твердження - невірне), слідує, що сила може векторно залежати лише від радіус-вектора, вектора швидкості та їх векторного добутку, а коефіцієнти при цих векторах - від скалярного добутку радіус-вектора на вектор швидкості, модулів швидкості і радіус-вектора та деяких констант. Отже,

$\ \mathbf {F} (\mathbf {r} ,\mathbf {v} )=\alpha \mathbf {r} +\beta _{0}\mathbf {v} +\gamma [\mathbf {v} \times \mathbf {r} ]$.

Нехай тепер є два інтеграли руху - енергія, $\ E=E_{k}+U$, та момент імпульса, $\ \mathbf {L} =[\mathbf {r} \times \mathbf {p} ]$. Похідна по часу від кожного рівна нулю. Отже, користуючись тим, що

$\ {\frac {dE_{k}}{dt}}=(\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} ),\quad {\frac {df(r)}{dt}}={\frac {df(r)}{dr}}{\frac {dr}{dt}}=f'(r){\frac {d({\sqrt {r^{2}}})}{dt}}=f'(r){\frac {2({\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\cdot \mathbf {r} )}{2r}}=f'(r){\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {r} )}{r}}$,

$\ {\frac {dE}{dt}}={\frac {dE_{k}}{dt}}+{\frac {dU}{dt}}=(\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} )+{\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {r} )}{r}}U'(r)=\alpha (\mathbf {v} \cdot \mathbf {r} )+\beta _{0}\mathbf {v} ^{2}+\gamma (\mathbf {v} \cdot [\mathbf {v} \times \mathbf {r} ])+{\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {r} )}{r}}U'(r)=\alpha (\mathbf {v} \cdot \mathbf {r} )+\beta _{0}\mathbf {v} ^{2}+{\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {r} )}{r}}U'(r)=0\Rightarrow$

$\ \Rightarrow \alpha (\mathbf {v} \cdot \mathbf {r} )=-U'(r){\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {r} )}{r}}-\beta _{0}\mathbf {v} ^{2}$.

Без зменшення загальності виразу для сили можна перепозначити $\ \beta _{0}$ і вважати, що $\ \beta _{0}=(\mathbf {v} \cdot \mathbf {r} )\beta$. Тоді

$\ \alpha =-{\frac {U'(r)}{r}}-\beta \mathbf {v} ^{2}$,

і

$\ \mathbf {F} (\mathbf {r} ,\mathbf {v} )=-({\frac {U'(r)}{r}}+\beta \mathbf {v} ^{2})\mathbf {r} +\beta (\mathbf {v} \cdot \mathbf {r} )\mathbf {v} +\gamma [\mathbf {v} \times \mathbf {r} ]=-{\frac {U'(r)}{r}}\mathbf {r} +\beta \left(\mathbf {v} (\mathbf {v} \cdot \mathbf {r} )-\mathbf {r} \mathbf {v} ^{2}\right)+\gamma [\mathbf {v} \times \mathbf {r} ]=-{\frac {U'(r)}{r}}\mathbf {r} +\beta [\mathbf {v} \times [\mathbf {v} \times \mathbf {r} ]]+\gamma [\mathbf {v} \times \mathbf {r} ]\Rightarrow (.1)$.

Далі - можна продиференціювати вираз для моменту імпульса:

$\ {\frac {d\mathbf {L} }{dt}}=[\mathbf {r} \times \mathbf {F} ]=\beta [\mathbf {r} \times [\mathbf {v} \times [\mathbf {v} \times \mathbf {r} ]]]+\gamma [\mathbf {r} \times [\mathbf {v} \times \mathbf {r} ]]=\beta (\mathbf {r} \cdot \mathbf {v} )[\mathbf {r} \times \mathbf {v} ]+\gamma (\mathbf {v} \mathbf {r} ^{2}-\mathbf {r} (\mathbf {v} \cdot \mathbf {r} ))=0\Rightarrow \beta =\gamma =0$,

оскільки $\ \mathbf {r} ,\mathbf {v}$ мають довільний напрям, а вектор $\ [\mathbf {r} \times \mathbf {v} ]$ їм ортогональний.

Отже,

$\ \mathbf {F} =-{\frac {U'(r)}{r}}\mathbf {r}$.

Така сила називається центральною.

$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$