The sine function and all of its Taylor polynomials are odd functions. This image shows
and its Taylor approximations, polynomials of degree 1, 3, 5, 7, 9, 11 and 13.[https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Even_and_odd_functions&action=submit]
The cosine function and all of its Taylor polynomials are even functions. This image shows
and its Taylor approximation of degree 4.[https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Even_and_odd_functions&action=submit]
В математиці , парні функції і непарні функції є функціями, які задовольняють певні відношення симетрії . Вони важливі в багатьох областях математичного аналізу, особливо в теорії степеневих рядів і рядів Фур'є . Вони названі на честь парності степенів степеневих функцій, які задовольняють кожну умову: функція
є парною, якщо n — парне ціле число, і непарною, якщо n — ціле непарне число.
Приклад парної функції: f(x) = x2
Функція
називається парною, якщо для будь-якого х
з області визначення функції виконується рівність
.
Графік парної функції дзеркально-симетричний відносно осі ординат.
![{\displaystyle y=|x|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a6da3df77d83c16e569fbbcdaa5f053e4f45a8d)
![{\displaystyle y=x^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad1108c4c9ee8ac7de90b77f9bd27415b13b6bf1)
![{\displaystyle y=cosx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/538c1cc8e151ecb9c9bd1430bec447aac4841e70)
Алгоритм дослідження функції
на парність:
- Знайти для функції
область визначення функції (
) та встановити чи симетрична
відносно нуля.
- Якщо область визначення функції (
) симетрична відносно нуля, тоді:
- скласти вираз
;
- порівняти
та
, якщо функція
для будь-якого значення
з області визначення функції (
), то функція
— парна.
Дослідити на парність функцію
Розв'язання:
, отже функція парна.
Приклад непарної функції: f(x) = x3.
Функція
називається непарною, якщо для будь-якого
з області визначення функції виконується рівність
.
Графік непарної функції центрально-симетричний відносно початку координат.
![{\displaystyle y=-x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6dc241070d3d2b22773a6616722efedb7c7f8ace)
![{\displaystyle y=x^{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a75ec71227fe7827ab9f8e423856f8540b32772)
![{\displaystyle y=sinx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fe49e9a30cad2b1c9d013eeccd4da5ccd096129)
Алгоритм дослідження функції
на непарність:
- Скласти вираз
, для цього у функції
замінити аргумент
на
;
- Порівняти
і
, якщо
, то функція — непарна.
З'ясувати, чи функція
парна, непарна, загального виду.
, тобто функція непарна.
- Якщо функція є як парною, так і непарною, вона дорівнює 0 скрізь, де вона визначена.
- Якщо функція непарна, абсолютне значення цієї функції є парною функцією.
- Сума двох парних функцій парна, сума двох непарних функцій непарна.
- Різниця двох непарних функцій є непарною, різниця двох непарних функцій є парною.
- Сума парної і непарної функцій є ні парною, ні непарною, якщо одна з функцій не дорівнює нулю в заданій області визначення .